Question

Determine o valor da soma (S) e do produto (P) das raízes de cada equação, x^4+ 4x^3 + 5x^2 - x + 2 = 0 e assinale a alternativa correta, respectivamente:

a) (S) = -2e (P) =4

b) (S) = 4 e (P) = 2

C) (S) =-4 e (P) = -2

d) (S) = 4 e (P) = -2

e) (S) = -4e (P)=2

Answer 1

A questão trata-se de relações de Girard de um polinômio. As relações de Girard são um resultado imediato da definição de polinômio por raízes,

$p(x) =a_nx^n+\dots+a_1x+a_0 \equiv a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)$

Onde $x_i$ é a i-ésima raiz de p. As relações se dão quando abrimos a expressão da direita, multiplicando os termos. Vamos fazer para o caso de um polinômio de grau 4,

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \\\\\\= x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+\\\\+ (x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2-\\\\-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x+\\\\x_1x_2x_3x_4$

Deste modo, obtemos que se o polinômio pode ser escrito como

$x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0</p><p></p><p>[tex]a_3 =-(x_1+x_2+x_3+x_4)\\\\a_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)\\\\a_1-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)\\\\a_0 = x_1x_2x_3x_4$

Deste modo, dado o polinômio

$x^4+4x^3+5x^2-x+2$

A soma das raízes é igual à menos o termo de x³, portanto,

$S = -a_3 = -4$

Enquanto o produto é dado pelo termo independente,

$P = a_0 = 2$