Question

Tem como usar L'Hospital aqui ?
lim cosx/1 - senx
x->pi/2 (pela direita)

Answer 1

Resolver o limite

$L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x}{1-\mathrm{sen\,}x}$


$\bullet\;\;$ Forma 1: Multiplicando e dividindo por $(1+\mathrm{sen\,}x):$

$L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x\cdot (1+\mathrm{sen\,}x)}{(1-\mathrm{sen\,}x)\cdot (1+\mathrm{sen\,}x)}\\ \\ \\ L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x\cdot (1+\mathrm{sen\,}x)}{1-\mathrm{sen^{2}\,}x}\\ \\ \\ L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x\cdot (1+\mathrm{sen\,}x)}{\cos^{2}x}$


Simplificando o fator comum $\cos x$ no numerador e no denominador, temos

$L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1+\mathrm{sen\,}x}{\cos x}$


Aplicando $x\to \frac{\pi}{2}^{+},$ chegamos a um limite do tipo $k/0.$ Como o limite é unilateral (pela direita), basta observarmos os sinais do numerador e do denominador da função na vizinhança positiva de $x=\frac{\pi}{2}:$

$1+\mathrm{sen\,}\frac{\pi}{2}=1+1=2>0$

$\cos x<0$ na vizinhança positiva de $x=\frac{\pi}{2}.$


Como os sinais do numerador e do denominador são diferentes, temos que

$\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x}{1-\mathrm{sen\,}x}=-\infty$


$\bullet\;\;$ Forma 2: Ao aplicar $x \to \frac{\pi}{2}^{+},$ chegamos a uma indeterminação do tipo $0/0.$ Logo, podemos aplicar a regra de L'Hopital:

$L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{d}{dx}(\cos x)}{\frac{d}{dx}(1-\mathrm{sen\,}x)}\\ \\ \\ L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-\mathrm{sen\,}x}{0-\cos x}\\ \\ \\ L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\ \\ \\ L=\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\mathrm{tg\,}x$


Conforme $x$ se aproxima de $\frac{\pi}{2}$ pela direita, a função tangente de $x$ tende ao infinito negativo. Logo,

$L=-\infty\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x}{1-\mathrm{sen\,}x}=-\infty$


(Obs.: Poderia também aplicar $x \to \frac{\pi}{2}^{+}$ na função

$\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}$

chegando a uma indeterminação do tipo $k/0.$ Daí é só verificar o sinal do numerador e do denominador na vizinhança positiva de $x=\frac{\pi}{2}:$

$\mathrm{sen\,}x=1>0$

$\cos x<0$ na vizinhança positiva de $x=\frac{\pi}{2}.$


Novamente, como os sinais do numerador e do denominador são diferentes, chegamos a

$\underset{x \to \frac{\pi}{2}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\cos x}{1-\mathrm{sen\,}x}=-\infty$