Question

Determine o valor de x para que x-1, x+3, 3x+1, formem, nessa ordem, uma P.G

Answer 1

$a_1 = x\! -\! 1 \\ a_2 = x \!+\! 3 \\ a_3 = 3x \!+\! 1 \\ \\ \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} \\ \\ (a_2)^2 = a_3.a_1 \\ \\ (x+3)^2 = (3x+1).(x-1) \\ \\ x^2 + 6x - 9 = 3x^2 - 3x + x - 1 \\ \\ x^2+6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \\ \\ 3x^2 - 2x - 1 - x^2 - 6x - 9 = 0 \\ \\ 2x^2 - 8x - 10 = 0 \\ \\ x^2 - 4x - 5 = 0 \\ \\ x = \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4.1.(-5)} }{2.1} \\ \\ x = \frac{4\pm6}{2} \\ \\ x' = 5 \\ x'' = -1$

Portanto, os valores de x são x' = 5 e x'' = -1:

Termos, quando x = 5:

$a_1 = 5-1 \rightarrow a_1 = 4$

$a_2 = 5+3\rightarrow a_2 = 8$

$a_3 = 3.5+1 \rightarrow a_3 = 16$

Termos, quando x = -1:

$a_1 = -1-1 \rightarrow a_1 = -2 \\ \\ a_2 = -1+3\rightarrow a_2 = 2 \\ \\ a_3 = 3.(-1)+1 \rightarrow a_3 = -2$

Answer 2

(x - 1), (x + 3), (3x + 1)
=============================
(x + 3)     (3x + 1)
--------- =  ----------
(x - 1)      ( x + 3)
=============================
(x + 3).(x + 3)  = (x - 1) . (3x + 1)
-------------------------------------------
      (x - 1). (x + 3) (MMC)
=============================
Cancela o MMC
(x + 3)² = 3x² + x - 3x - 1
x² + 6x + 9 - 3x²  -x + 3x +1 = 0
-2x² + 8x  + 10 = 0
Trocamos o sinal e dividiremos por  2 para facilitar a resolução.
 x² - 4x - 5 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 16 - 4.(-5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36

x' = (4 + √36)/ 2
x' = (4 + 6)/2
x' = 10/2
x' = 5
==============================
x" = (4 - √36)/2
x" = (4 - 6)/2
x" = -2/2
x" = -1
Solução = x = -1 ou x = 5