Question

Prove por indução que 7/ ( 2^3n - 1) para todo n natural.

Answer 1

Considerando que $7|(2^{3n}-1)$ para algum $n$ natural, deve então existir um número natural $k$ tal que $2^{3n}-1=7k\therefore 2^{3n}=7k+1$. Tendo isso em mente, vamos provar que $7|[2^{3(n+1)}-1]$. Temos que:

$2^{3(n+1)}-1=2^{3n+3}-1$

$2^{3(n+1)}-1=2^{3n}\cdot2^3-1$

$2^{3(n+1)}-1=8\cdot2^{3n}-1$

Sendo $2^{3n}=7k+1$:

$2^{3(n+1)}-1=8\cdot(7k+1)-1$

$2^{3(n+1)}-1=8\cdot7k+8-1$

$2^{3(n+1)}-1=8\cdot7k+7$

$2^{3(n+1)}-1=7(8k+1)$

provando assim que $7|(2^{3n}-1)\Rightarrow 7|[2^{3(n+1)}-1]$. Considerando $n=0$, temos que $2^0-1=0$ é divisível por 7, logo essa relação também é válida para todo $n$ inteiro maior que 0, isto é, para todo número natural.