Question

Calcule a derivada da função abaixo.​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos calcular a derivada da seguinte função: $g(t)=\sqrt{t}\cdot(a+b\cdot t)$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $t$:

$\dfrac{d}{dt}(g(t))=\dfrac{d}{dt}(\sqrt{t}\cdot(a+b\cdot t))$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada do produto entre duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $\dfrac{d}{dt}(f(t)\cdot h(t))=\dfrac{d}{dt}(f(t))\cdot h(t)+f(t)\cdot \dfrac{d}{dt}(h(t))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dt}(t^n)=n\cdot t^{n-1}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $\dfrac{d}{dt}(f(t)\pm h(t))=\dfrac{d}{dt}(f(t))\pm \dfrac{d}{dt}(h(t))$.
• A derivada de uma constante é igual a zero. Isto significa também que $\dfrac{d}{dt}(c\cdot f(t))=c\cdot \dfrac{d}{dt}(f(t))$.

Aplique a regra do produto

$g'(t)=\dfrac{d}{dt}(\sqrt{t})\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot\dfrac{d}{dt}(a+b\cdot t)$

Aplique a regra da potência, lembrando que $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$ e aplique a regra da soma

$g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot t^{\frac{1}{2}-1}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot\left(\dfrac{d}{dt}(a)+\dfrac{d}{dt}(b\cdot t)\right)$

Some os valores no expoente e aplique as regras da constante e do produto

$g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot t^{-\frac{1}{2}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot\left(0+b\cdot\dfrac{d}{dt}(t)\right)$

Lembre-se que $t^{-n}=\dfrac{1}{t^n},~t\neq0$ e aplique a regra da potência

$g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot(b\cdot1\cdot t^{1-1})$

Some os valores no expoente e multiplique os termos

$g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot(b\cdot1\cdot t^{0})\\\\\\ g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot b\cdot1\cdot1\\\\\\ g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot b$

Reescreva $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$

$g'(t)=\dfrac{a+b\cdot t}{2\sqrt{t}}+b\sqrt{t}$

Some as frações

$g'(t)=\dfrac{a+b\cdot t+2\sqrt{t}\cdot b\sqrt{t}}{2\sqrt{t}}\\\\\\ g'(t)=\dfrac{a+b\cdot t+2b\cdot{t}}{2\sqrt{t}}\\\\\\ g'(t)=\dfrac{a+3bt}{2\sqrt{t}}$

Esta é a derivada desta função.