Question

$\sqrt{ \sqrt{ \sqrt{9} } }$
único radical​

Answer 1

Vamos relembrar 2 propriedades dos radicais que serão úteis para resolver nosso exercício:

$i)\, \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \hspace{0.2cm} em\hspace{0.1cm} geral, \, \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

$ii)\, \left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}, \hspace{0.2cm} para \hspace{0.1cm} todo\hspace{0.1cm} a,b \in \mathbb{R}$

Vamos começar transformando a raiz mais exterior em expoente, assim,

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{9}}} = \left(\sqrt{\sqrt{9}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Do mesmo modo, fazemos o mesmo procedimento com a raiz intermediária,

$\left(\sqrt{\sqrt{9}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left((\sqrt{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Daqui poderíamos substituir a raiz de 9, já que sabemos o resultado, ou transformamos a raiz em radical, mantendo o 9, mostraremos ambos os caminhos

$\left((\sqrt{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left((3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

$\left((\sqrt{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Usando a segunda propriedade, obtemos que

$\left((3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{4}}$

$\left(\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 9^\frac{1}{8}$

Deste modo,

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{9}}} = 9^\frac{1}{8} = 3^\frac{1}{4}$