Question

Considere o triângulo formado pelos pontos:

A = (-8,5, -7)
B = (2,7,-3)
C = (-10, 6,3)


Assinale a resposta correta. Escolha uma:

(a) O ângulo *BAC* é reto,
O ângulo *ABC* é agudo,
O ângulo *ACB* é agudo.

(b) O ângulo *BAC* é agudo,
O ângulo *ABC* é agudo,
O ângulo *ACB* é agudo.

(c) O ângulo *BAC* é agudo,
O ângulo *ABC* é reto,
O ângulo *ACB* é agudo.

(d) O ângulo *BAC* é agudo,
O ângulo *ABC* é agudo,
O ângulo *ACB* é obtuso.

(e) O ângulo *BAC* é agudo,
O ângulo *ABC* é agudo,
O ângulo *ACB* é reto.

(f) O ângulo *BAC* é obtuso,
O ângulo *ABC* é agudo,
O ângulo *ACB* é agudo.

(g) O ângulo *BAC* é agudo,
O ângulo *ABC* é obtuso,
O ângulo *ACB* é agudo.​

Answer 1

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⠀⠀☞ Verificamos que os três pontos em R3 configuram um triângulo obtusângulo em que o maior lado é oposto ao vértice A, o que nos leva à opção f). ✅

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⠀⠀ De forma semelhante à distância entre 2 pontos em duas dimensões, temos que a equação para a distância entre 2 pontos em três dimensões é:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf d_{ab} = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Desta forma sabemos que:

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$\blue{\Large\sf~d_{ab}~\begin{cases}\sf~= \sqrt{(2 - (-8))^2 + (7 - 5)^2 + ((-3) - (-7))^2} \\\\ \sf~= \sqrt{10^2 + 2^2 + 4^2} \\\\ \sf~= \sqrt{100 + 4 + 16} \\\\ \sf~= \sqrt{120} \approx 10,95\end{cases}}$

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$\blue{\Large\sf~d_{bc}~\begin{cases}\sf~= \sqrt{(-10 - 2)^2 + (6 - 7)^2 + (3 - (-3))^2} \\\\ \sf~= \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2 + 6^2} \\\\ \sf~= \sqrt{144 + 1 + 36} \\\\ \sf~= \sqrt{181} \approx 13,45\end{cases}}$

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$\blue{\Large\sf~d_{ca}~\begin{cases}\sf~= \sqrt{((-8) - (-10))^2 + (5 - 6)^2 + ((-7) - 3)^2} \\\\ \sf~= \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-4)^2} \\\\ \sf~= \sqrt{4 + 1 + 16} \\\\ \sf~= \sqrt{21} \approx 4,58\end{cases}}$

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⠀⠀Conhecendo as distâncias vamos agora verificar se temos um triângulo retângulo pela relação do Teorema de Pitágoras:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf (\sqrt{21})^2 + (\sqrt{120})^2   ~~\red{\overbrace{=}^{\large?}}~~ (\sqrt{181})^2 }}$

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$\LARGE\blue{\sf 141 \neq 181 }$❌

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⠀⠀Sabendo que não temos um triângulo retângulo, vamos agora verificar se temos um triângulo obtusângulo através da relação:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf c^2 = a^2 + b^2 + 2an}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf c }}$ sendo o lado oposto ao ângulo obtuso (maior lado do triângulo);

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a~\&~b }}$ sendo os dois outros lados do triângulo;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf n }}$ sendo a projeção de a ou b sobre b ou a (ou seja, n > 0).

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$\LARGE\blue{\sf (\sqrt{181})^2 = (\sqrt{120})^2 + (\sqrt{21})^2 + 2 \cdot \sqrt{120} \cdot \overbrace{\sf n}^{n > 0 ?}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf n = \dfrac{40}{\sqrt{480}}~~\longrightarrow~~n > 0 }}$⠀✅

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{f)}~\blue{ O~\hat{a}ngulo.. }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre distância entre dois pontos:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/37997846

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$