Question

[85pts]. Uma empresa precisa fabricar embalagens
cilíndricas, com tampa, utilizando uma área
superficial fixa igual a A = 150. π $dm^{2}$
Determine o raio da base (r) e a altura (h) para
que seja atingido o volume máximo que essa
embalagem cilíndrica pode conter. Encontre o
volume máximo conseguido nessa embalagem.

Obs.: Área Superficial A(r, h) = 2π. $r^{2}$ + 2π. r. h.

Obs.: Volume V(r, h) = π. $r^{2}$ . h.

Answer 1

Temos que $2\pi r^2+2\pi rh=150\pi$, de forma que

$r^2+rh=75$.

Assim,

$h(r)=\frac{75-r^2}{r}$.

O volume do cilindro, então, será

$V(r)=\pi r^2\cdot h(r)=\pi r^2\frac{75-r^2}{r}=\pi(75r-r^3)$

Como queremos o volume máximo,

$V'(r)=\pi(75-3r^2)=0\implies r^2=25\implies r=5$ (pois $r>0$),

e, como $V''(5)=-30\pi<0$, 5 é ponto de máximo.

Dessa forma, o volume máximo é

$V(5)=\pi(75\cdot 5-5^3)=250\pi$.