Question

Um sistema de dois objetos suspensos em uma polia por um cabo flexível, como na figura em anexo, é conhecido como máquina de Atwood. Considere a aplicação na vida real de um elevador (Me) e seu contrapeso (Mc). Para este cálculo, o motor será deixado de fora do sistema e será assumida que a massa do cabo é desprezível, e que a massa da polia, assim como qualquer atrito, são pequenos e podem ser ignorados. Essas suposições garantem que a Tensão FR no cabo tenha a mesma magnitude em ambos os lados da polia.
Seja Mc= 1000 kg a massa do contrapeso. Presume-se que a massa do elevador vazio seja de 850 kg e que sua massa ao transportar quatro passageiros seja de Me= 1150 kg. Para este último caso (Me= 1150 kg):
A) Calcule a aceleração do elevador.
B) Calcule a tensão do cabo

Answer 1

Para calcular os valores de aceleração e tensão (tração), devemos utilizar nossos conhecimentos sobre o caso conhecido como máquina de Atwood, analisando as forças envolvidas.

• Aceleração do elevador

Como a massa do elevador é maior que a do contrapeso, é possível afirmar que ele está descendo.

Nesse caso, a força resultante que atua sobre ele está apontando para baixo, o que significa que o peso que age sobre ele é maior que a tração.

Dessa forma:

$F_r=P_E-T$

Pelo princípio fundamental da dinâmica, temos:

$F_r=m_E \cdot a$

Igualando:

$\boxed{m_E\cdot a = P_E-T}$

Para o contrapeso, temos o contrário:

$F_r=T-P_C$

E também:

$F_r=m_C\cdot a$

Igualando:

$\boxed{m_C\cdot a = T-P_C}$

Considerando as duas equações encontradas como um sistema, podemos resolvê-lo pelo método da adição:

$m_E\cdot a + m_C\cdot a = P_E-T+T-P_C$

$a\cdot (m_E + m_C) = P_E-P_C$

$a\cdot (m_E+m_C)=m_E\cdot g-m_C\cdot g$

$a\cdot (m_E+m_C)=g\cdot (m_E-m_C)$

Considerando a aceleração gravitacional como 10 m/s² e adicionando os valores que conhecemos:

$a\cdot 2150=10\cdot 150$

$a\cdot 2150= 1500$

$a=\dfrac{1500}{2150}$

$\boxed{\boxed{a\approx 0,69\: m/s^2}}$

• Tensão no cabo (Tração)

Substituindo a aceleração em uma das equações:

$m_C\cdot a = T-P_C$

$1000\cdot \dfrac{1500}{2150}=T-1000\cdot 10$

$697=T-10000$

$\boxed{\boxed{T\approx10697\: N}}$

• Resposta

A) A aceleração vale aproximadamente 0,69 m/s²

B) A tração vale aproximadamente 10697 N

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