Question

A= [1 2 2 0] e M= [x -1 -1 y]

onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto (x.y) é:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4​

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Sejam as matrizes $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&0\\\end{bmatrix}$ e $M=\begin{bmatrix}x&-1\\-1&y\\\end{bmatrix}$. Sabendo que $M=A^{-1}$, devemos determinar o valor do produto $x\cdot y$.

Primeiro, lembre-se que:

$B\cdot B^{-1}=I_n$, em que $B=[b_{ij}]_{n\times n}$ e $I$ é a matriz identidade de ordem $n$.

Dessa forma, fazemos:

$A\cdot M = I$

Aplicando o Teorema de Binet, em que $\det(B\cdot C)=\det(B)\cdot\det(C)$, temos:

$\det(A\cdot M)=\det(I)\\\\\\ \det(A)\cdot\det(M)=\det(I)\\\\\\ \begin{vmatrix}1&2\\2&0\\\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}x&-1\\-1&y\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\\\end{vmatrix}$

O determinante de uma matriz de ordem $2$ é calculado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Assim, teremos:

$(1\cdot 0-2\cdot2)\cdot(x\cdot y-(-1)\cdot(-1))=1\cdot1-0\cdot0$

Multiplique e some os valores

$(0-4)\cdot(x\cdot y-1)=1-0\\\\\\ -4\cdot(x\cdot y-1)=1$

Divida ambos os lados da equação por um fator $(-4)$

$x\cdot y-1=-\dfrac{1}{4}$

Some $1$ em ambos os lados da equação

$x\cdot y = 1-\dfrac{1}{4}$

Some as frações

$x\cdot y=\dfrac{4-1}{4}\\\\\\ x\cdot y =\dfrac{3}{4}~~\checkmark$

Este é o valor numérico deste produto e é a resposta contida na letra d).