Question

Determinar se as proposições a seguir são tautologia, contradição ou contingência, usando
o método da tabela-verdade:
a) (p ∨ q) ∧ (~p ∧ ~q)
b) (p ∧ q) → (p ↔ q)

Answer 1

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⠀⠀☞ Cada tabela-verdade nos demonstra que o item a) é uma contradição enquanto o item b) é uma tautologia. ✅  

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⠀⠀Inicialmente lembremos o que cada conectivo lógico representa:

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$\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rlclr}&&&&\\&\orange{\sf p \cup q}&\pink{\Longrightarrow}&\orange{\sf p~ou~q}&\\&&&&\\&\orange{\sf p \cap q}&\pink{\Longrightarrow}&\orange{\sf p~e~q}&\\&&&&\\&\orange{\sf p \rightarrow q}&\pink{\Longrightarrow}&\orange{\sf se~p~ent\tilde{a}o~q}&\\&&&&\\&\orange{\sf p \iff q}&\pink{\Longrightarrow}&\orange{\sf p~se,~e~somente~se,~q}&\\&&&&\\&\orange{\sf \tilde{}~p}&\pink{\Longrightarrow}&\orange{\sf n\tilde{a}o~p}&\\&&&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀ Vamos inicialmente registrar nossa tabela verdade padrão para nos auxiliar a montar as tabelas verdade de cada exercício:

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$\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}&&&&&\\\sf ~p~~&\sf ~~q~~&\sf p \cup q&\sf p \cap q&\sf p \rightarrow q&\sf p \iff q\\&&&&&\\\sf V&\sf V&\sf V&\sf V&\sf V&\sf V\\&&&&&\\\sf V&\sf F&\sf V&\sf F&\sf F&\sf F\\&&&&&\\\sf F&\sf V&\sf V&\sf F&\sf V&\sf F\\&&&&&\\\sf F&\sf F&\sf F&\sf F&\sf V&\sf V\\&&&&&\\\end{array}}}}}}$  

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⠀⠀Construiremos cada tabela verdade a seguir a partir de 4 passos:

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⠀⠀I) Construir a Tabela Verdade com uma coluna para cada proposição, uma coluna para cada lado da sentença lógica e uma coluna para a sentença lógica completa;

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⠀⠀II) Preencher os valores V ou F para nossas 3 proposições p, q e r;

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⠀⠀III) Verificar a validade dos dois lados da sentença lógica separados;

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⠀⠀IV) Verificar a validade da sentença lógica completa.

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⠀⠀Lembremos também que:

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• ⠀⠀TAUTOLOGIA: independente da validade das proposições a  sentença lógica sempre será verdadeira;

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• ⠀⠀CONTRADIÇÃO: independente da validade das proposições a  sentença lógica sempre será falsa;

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• ⠀⠀CONTINGÊNCIA: a validade da sentença lógica poderá ser verdadeira ou falsa a depender da validade das proposições que a compõe.

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a) (p ∨ q) ∧ (~p ∧ ~q)

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$\green{\boxed{\gray{\boxed{\blue{\begin{array}{c|c|c|c|c}&&&&\\\sf ~p~~&\sf ~~q~~&\sf p \cup q&\sf \tilde{}~p \cap \tilde{}~q&\sf (p \cup q) \cap (~\tilde{}~p \cap \tilde{}~q)\\&&&&\\\sf V&\sf V&\sf V&\sf F&\boxed{\sf F}\\&&&&\\\sf V&\sf F&\sf V&\sf F&\boxed{\sf F}\\&&&&\\\sf F&\sf V&\sf V&\sf F&\boxed{\sf F}\\&&&&\\\sf F&\sf F&\sf F&\sf V&\boxed{\sf F}\\\end{array}}}}}}$

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⠀⠀Esta proposição é portanto uma contradição. ✅

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b) (p ∧ q) → (p ↔ q)

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$\green{\boxed{\gray{\boxed{\blue{\begin{array}{c|c|c|c|c}&&&&\\\sf ~p~~&\sf ~~q~~&\sf p \cap q&\sf p \iff q&\sf (p \cap q) \rightarrow (p \iff q)\\&&&&\\\sf V&\sf V&\sf V&\sf V&\boxed{\sf V}\\&&&&\\\sf V&\sf F&\sf F&\sf F&\boxed{\sf V}\\&&&&\\\sf F&\sf V&\sf F&\sf F&\boxed{\sf V}\\&&&&\\\sf F&\sf F&\sf F&\sf V&\boxed{\sf V}\\\end{array}}}}}}$

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⠀⠀Esta proposição é portanto uma tautologia. ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ + exercícios com tabela verdade:  

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38427225

✈ https://brainly.com.br/tarefa/38348117

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$