Question

Qual a solução do sistema? *

x – 3y + 2z = 14
2x+5y-z = -9
-3x – y +2z = 2

(-2, 2, 3)

(2, -2, 3)

(3, -2, 2)

(1, -3, -2)

(-2, -3, 1)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos o seguinte sistema de equações lineares, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja o sistema:

$\begin{cases}x-3y+2z=14\\2x+5y-z=-9\\-3x-y+2z=2\\\end{cases}$

Reescrevemos o sistema na forma de matriz ampliada

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\2&5&-1&-9\\-3&-1&2&2\\\end{array}\right]$

Utilizando o primeiro elemento como pivô, multiplicamos sua linha por uma constante e somamos às linhas abaixo, de modo que tenhamos uma matriz triangular ou escalonada.

Multiplique a primeira linha por um fator $(-2)$ e some à segunda linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\0&11&-5&-37\\-3&-1&2&2\\\end{array}\right]$

Multiplique a primeira linha por um fator $3$ e some à terceira linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\0&11&-5&-37\\0&-10&8&44\\\end{array}\right]$

Então, escolhemos o segundo elemento da diagonal principal como pivô e continuamos o processo.

Multiplique a segunda linha por um fator $\dfrac{10}{11}$ e some à terceira linha

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\\\0&11&-5&-37\\\\0&0&\dfrac{38}{11}&\dfrac{114}{11}\\\end{array}\right]$

Reescrevemos o sistema escalonado

$\begin{cases}x-3y+2z=14\\\\11y-5z=-37\\\\\dfrac{38}{11}z=\dfrac{114}{11}\\\end{cases}$

Da última equação, temos:

$\dfrac{38}{11}z=\dfrac{114}{11}$

Dividindo ambos os lados da equação por $\dfrac{38}{11}$, temos:

$z=\dfrac{\dfrac{114}{11}}{\dfrac{38}{11}}$

Calcule a fração de frações

$z=\dfrac{114}{38}=3$

Da segunda equação, temos:

$11y-5z=-37$

Substituindo o resultado que encontramo temos:

$11y-5\cdot3=-37$

Multiplique os valores

$11y-15=-37$

Some $15$ em ambos os lados da equação

$11y=-22$

Divida ambos os lados da equação por um fator $11$

$y=\dfrac{-22}{11}=-2$

Da primeira equação, temos:

$x-3y+2z=14$

Substituindo os resultados que encontramos, temos:

$x-3\cdot(-2)+2\cdot3=14$

Multiplique e some os valores

$x+6+6=14\\\\\\ x +12=14$

Subtraia $12$ em ambos os lados da equação

$x=2$

Assim, temos o conjunto solução deste sistema de equações:

$\boxed{\bold{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,~z)=(2,\,-2,~3)\}}}$