Question

O Professor de Matemática propôs o seguinte problema: A soma das áreas de dois quadrados é 41 e a diferença de seus perímetros é 4. Calcule as medidas dos lados dos quadrados.

Answer 1

O quadrado é um quadrilátero com seus 4 lados de mesma medida.

A Área e o Perímetro do quadrado são dados por:

$\boxed{Area~=~Lado^{\,2}}~~~~~~\boxed{Perimetro~=~4\cdot Lado}$

Se considerarmos "A" a medida do lado no primeiro quadrado e "B" a medida do segundo, podemos montar duas equações com as afirmações dadas no enunciado como é mostrado abaixo.

--> "A soma das áreas de dois quadrados é 41 ":  $\boxed{\sf A^2~+~B^2~=~41}$

--> "a diferença de seus perímetros é 4 ":   $\boxed{\sf 4\cdot A~-~4\cdot B~=~4}$

Note que chegamos em 2 equações com 2 incógnitas, ou seja, podemos montar um sistema de equações.

$\left\{\begin{array}{c c c c c}A^2&+&B^2&=&41\\4A&-&4B&=&4\end{array}\right.$

Podemos resolver este sistema por qualquer método conhecido, vou utilizar a qui o método da substituição.

Isolando "A" na 2ª equação:

$4A~-~4B~=~4\\\\\\4\cdot (A-B)~=~4\\\\\\A-B~=~\dfrac{4}{4}\\\\\\\boxed{A~=~B+1}$

Substituindo na 1ª equação a expressão achada para A em função de B:

$A^2~+~B^2~=~41\\\\\\(B+1)^2~+~B^2~=~41\\\\\\B^2+2B+1~+~B^2~=~41\\\\\\2B^2~+~2B~+~1~-~41~=~0\\\\\\2B^2~+~2B~-~40~=~0\\\\\\\boxed{B^2+B-20~=~0}$

Note que chegamos a uma equação de 2º grau e, para resolve-la, podemos utilizar a formula de Bhaskara. Vou omitir estes cálculos, já que não é o foco do exercício, mas, se tiver dúvida, deixe na seção dos comentários.

Aplicando Bkaskara, chegamos a duas possibilidades para a medida B: B'=4 e B''=-5.

Vamos lembrar, entretanto, que B é a medida do lado de um quadrado, ou seja, não pode assumir valores negativos. Nesse caso, devemos descartar B''=-5.

Temos então, até agora, a medida do lado do 2º quadrado: B=4 unidades de comprimento. Para determinar o valor de A, basta substituirmos o B achado em uma das equações anteriormente vistas:

$4\cdot A~-~4\cdot B~=~4\\\\\\4A~-~4\cdot 4~=~4\\\\\\4A~=~4+16\\\\\\A~=~\dfrac{20}{4}\\\\\\\boxed{A~=~5~unidades~de~comprimento}$

Resposta: Os lados medem 5 e 4 unidades de comprimento.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$