Question

Olá boa noite porfavor podem me ajudar a resolver esse exercício? 

Porfavor 

Numa PG crescente o 1º termo é positivo 4º termo é quadrúplo do 2º termo e a soma do 4º com o 5ºtermo é igual a 48. Determine o termo geral e a soma dos sete primeiros termos

Answer 1

A partir da segunda informação dada (4º termo é quádruplo do 2º termo), podemos concluir que:

$a_{4}=4.a_2\\ a_{1}.q^{4-1} =4.a_{1}.q^{2-1} \\ a_{1}.q^{3} =4.a_{1}.q \\q^{3} =4.q \\q^{2} =4\\q=2 ou -2$

Contudo, como sabemos que a PG é crescente, a razão obrigatoriamente deve ser positiva e maior que 1, portanto, q=2

A partir da terceira informação (a soma do 4º com o 5ºtermo é igual a 48), podemos concluir que:

$a_{4} +a_{5} =48\\a_{1}.q^{4-1} +a_{1}.q^{5-1} =48\\a_{1}.2^{3}+a_{1}.2^{4}=48 \\8a_{1} +16a_{1} =48\\a_{1} =2$

Assim, a regra geral dessa PG é:

$a_{n}=a_{1}.q^{n-1} \\a_{n}=2.2^{n-1}\\a_{n}=2^{n-1+1}\\a_{n}=2^{n}$

Além disso, a soma dos primeiros sete termos pode ser descoberta pela fórmula da soma de PG finita:

$S_{n}=\frac{a_{1}.(1-q^{n})}{1-q} \\S_{n}=\frac{2.(1-2^{7})}{1-2} \\\\S_{n}=254$