Question

Se x+y=2 e (x^4)+(y^4)=1234 , calcule os valores de x e y pertencentes aos numeros reais.

Answer 1

Resposta:

$(x,y)\in\{(1-\sqrt{22},1+\sqrt{22}),(1+\sqrt{22},1-\sqrt{22})\}$

Explicação passo-a-passo:

Dados dois números $a$ e $b$, sabe-se que $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$, logo:

$(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$

$(x+y)^4=x^4+y^4+2xy(2x^2+3xy+2y^2)$

$2^4=1.234+2xy(2x^2+3xy+2y^2)$

$16=1.234+2xy(2x^2+3xy+2y^2)$

$2xy(2x^2+3xy+2y^2)+1.218=0$

Dividindo ambos os lados da igualdade por 2:

$xy(2x^2+3xy+2y^2)+609=0$

Sabe-se que $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, logo $2x^2+3xy+2y^2=2(x+y)^2-xy$. Substituindo:

$xy[2(x+y)^2-xy]+609=0$

$xy(2\cdot2^2-xy)+609=0$

$xy(8-xy)+609=0$

$-(xy)^2+8xy+609=0$

$(xy)^2-8xy-609=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara para $xy$, acha-se que $xy=-21$ ou $xy=29$. Pegando a equação $x+y=2$ e multiplicando ambos os lados da igualdade por $x$, ficamos com $x^2+xy=2x\therefore x^2-2x+xy=0$.

Para $xy=-21$, ficamos com a equação $x^2-2x-21=0$ que, aplicando a fórmula de Bhaskara, nos dá as soluções $x=1\pm\sqrt{22}$. Sendo $y=2-x$, ficamos com $(x,y)\in\{(1-\sqrt{22},1+\sqrt{22}),(1+\sqrt{22},1-\sqrt{22})\}$.

No caso de $xy=29$, ficamos com a equação $x^2-2x+29=0$  que, aplicando a fórmula de Bhaskara, nos dá as soluções $x=1\pm2\sqrt{7}\;i$. Como a questão quer valores reais, desconsideramos este caso.