Question

Calcule a derivada da função de f(x) = \frac{x}{cosx}

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre derivação.

Devemos calcular a derivada da seguinte função:  $f(x)=\dfrac{x}{\cos(x)}$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$(f(x))'=\left(\dfrac{x}{\cos(x)}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2}$, em que $h(x)\neq0$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: $(\cos(x))'=-\sin(x)$.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(x)'\cdot \cos(x)-x\cdot (\cos(x))'}{(\cos(x))^2}$

Aplique a regra da potência e calcule a derivada da função cosseno

$f'(x)=\dfrac{1\cdot \cos(x)-x\cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)}$

Multiplique os termos

$f'(x)=\dfrac{\cos(x)+x\sin(x)}{\cos^2(x)}$

Esta é a derivada desta função.