Question

Calcule a derivada f(x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}

Answer 1

$f(x) = \dfrac{x^{2}}{e^{x}}$

Utilize a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(x^2)'\cdot e^x-x^2\cdot(e^x)'}{(e^x)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x\cdot e^x-x^2\cdot e^x}{e^{2x}}$

Essa ja seria resposta, mas se quiser colocar $e^x$ em evidencia no numerador e simplificar com $e^{2x}$ do denominador, ficando então assim

$f'(x)=\dfrac{e^x(2x-x^2)}{e^{2x}}\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{2x-x^2}{e^{x}}}}$

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de derivadas.

Devemos calcular a derivada da seguinte função: $f(x)=\dfrac{x^2}{e^x}$.

Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável $x$

$(f(x))'=\left(\dfrac{x^2}{e^x}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função racional, isto é, razão entre duas funções, contínuas e deriváveis $\dfrac{g(x)}{h(x)}$, com $h'(x)\neq0$ é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função exponencial é igual a própria função exponencial: $(e^x)'=e^x$.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(x^2)'\cdot e^x-x^2\cdot (e^x)'}{(e^x)^2}$

Calcule as derivadas da potência e da função exponencial

$f'(x)=\dfrac{2\cdot x^{2-1}\cdot e^x-x^2\cdot e^x}{(e^x)^2}\\\\\\\ f'(x)=\dfrac{2x\cdot e^x-x^2\cdot e^x}{(e^x)^2}$

Fatoramos a expressão no numerador e simplificamos a fração por um fator $e^x$

$f'(x)=\dfrac{e^x\cdot(2x-x^2)}{(e^x)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{2x-x^2}{e^x}$

Esta é a derivada desta função.