Question

O determinante da matriz
[1  4  -2  4
1  2   0   2
1  2   0   0
0  -1  1  2 ]
é igual a:​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo do determinante de matrizes.

Seja a matriz:

$A=\begin{bmatrix}1&4&-2&4\\1&2&0&2\\1&2&0&0\\0&-1&1&2\\\end{bmatrix}$

Calculando seu determinante, temos:

$\det A=\begin{vmatrix}1&4&-2&4\\1&2&0&2\\1&2&0&0\\0&-1&1&2\\\end{vmatrix}$

Para calcular este determinante, utilizamos o Teorema de Laplace: ele consiste em escolher uma fila da matriz e calcular a soma do produto entre os elementos desta fila e seus respectivos cofatores.

Em qualquer matriz quadrada de ordem $n$, seu determinante pode ser calculado por meio da fórmula: $\det(A)=\displaystyle{\sum^n a_{ij}\cdot A_{ij}}$, em que $A_{ij} =(-1)^{i+j}\cdot\det D_^{ij}$ é o cofator do elemento $a_{ij}$ e $D_{ij}$ é a matriz formada pelo elementos que restam na matriz original após retirarmos os elementos da fila escolhida.

Por conta da fórmula, em geral, escolhe-se a fila com maior número de elementos nulos para facilitar os cálculos, logo escolhendo a coluna $j=3$, teremos:

$\det(A)=\displaystyle{\sum_{i=1}^4 a_{i3}\cdot A_{i3}$

Expanda a soma e substitua os elementos:

$\det(A)=a_{13}\cdot A_{13}+a_{23}\cdot A_{23}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{43}\cdot A_{43}\\\\\\ \det(A)=(-2)\cdot A_{13}+0\cdot A_{23}+0\cdot A_{33}+1\cdot A_{43}\\\\\\ \det(A)=-2\cdot A_{13}+A_{43}$

Calcule os cofatores utilizando a fórmula apresentada acima

$\det(A)=-2\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}1&2&2\\1&2&0\\0&-1&2\\\end{vmatrix}+(-1)^{4+3}\cdot \begin{vmatrix}1&4&4\\1&2&2\\1&2&0\\\end{vmatrix}$

Some os valores no expoente e calcule as potências

$\det(A)=-2\cdot(-1)^4\cdot\begin{vmatrix}1&2&2\\1&2&0\\0&-1&2\\\end{vmatrix}+(-1)^7\cdot \begin{vmatrix}1&4&4\\1&2&2\\1&2&0\\\end{vmatrix}\\\\\\\ \det(A)=-2\cdot\begin{vmatrix}1&2&2\\1&2&0\\0&-1&2\\\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}1&4&4\\1&2&2\\1&2&0\\\end{vmatrix}$

Para calcular estes determinantes de ordem $3$, utilize a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replique as colunas

$\det(A)=-2\cdot\begin{vmatrix}1&2&2\\1&2&0\\0&-1&2\\\end{vmatrix}\begin{matrix}1&2\\1&2\\0&-1\\\end{matrix}- \begin{vmatrix}1&4&4\\1&2&2\\1&2&0\\\end{vmatrix}\begin{matrix}1&4\\1&2\\1&2\\\end{matrix}$

Aplique a Regra de Sarrus

$\det(A)=-2\cdot(1\cdot2\cdot2+2\cdot0\cdot0+2\cdot1\cdot(-1)-(2\cdot1\cdot2+1\cdot0\cdot(-1)+2\cdot2\cdot0))-(1\cdot2\cdot0+4\cdot2\cdot1+4\cdot1\cdot2-(4\cdot1\cdot0+1\cdot2\cdot2+4\cdot2\cdot1))$

Multiplique e some os valores

$\det(A)=-2\cdot(4+0-2-(4+0+0))-(0+8+8-(0+4+8))\\\\\\ \det(A)=-2\cdot(-2)-4\\\\\\ \det(A)=4-4\\\\\\ \det(A)=0$

Este é o determinante desta matriz.