Question

Calcular a área da região limitada pelas funções seguintes e deixar o resultado em U.A (unidades de área)
y=-x²-1 ;y=2x-4

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = - x {}^{2} - 1 \: \: e \: \: y = 2x - 4$

A questão quer saber a área formada entre essas duas funções, para isso vamos primeiro saber o intervalo de integração. Para fazer isso, devemos igualar ambas as funções, pois assim encontraremos as interseções delas e assim saberemos onde a área começa e termina:

$- x {}^{2} - 1 = 2x - 4\longrightarrow x {}^{2} + 2x - 3 = 0 \\ \\ x {}^{2} + 2x - 3 = 0\longrightarrow \begin{cases}x_{1} =1 \\ x_{2} = - 3\end{cases}$

Portanto sabemos que os limites de integração serão 1 e -3. Agora devemos montar a equação que configura a área formada, para isso basta subtrair a função de cima pela de baixo:

$A = \int \limits_{a}^{b} f(x) - g(x) \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A = \int \limits_{ - 3}^{1} - x {}^{2} - 1 - (2x - 4)dx \\ \\ A = \int \limits_{ - 3}^{1} - x {}^{2} - 1 - 2x + 4 \: dx \: \: \\ \\ A = \int \limits_{ - 3}^{1} - x {}^{2} - 2x + 3 \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só integrar a função e após isso aplicar a o Teorema da Variação.

$A = \int \limits_{ - 1}^{3} - x {}^{2} - 2x + 3 \: dx \\ \\ A = - \frac{x {}^{3} }{3} - x {}^{2} + 3x \bigg | _{ - 3}^{1} \\ \\ A = \left( - \frac{1 {}^{3} }{3} - 1 {}^{2} + 3.1 \right) - \left( - \frac{( - 3) {}^{3} }{3} - ( - 3) {}^{2} + 3.( - 3)\right) \\ \\ A = - \frac{1}{3} - 1 + 3 - 9 + 9 + 9 \\ \\ A = - \frac{1}{3} + 11 \\ \\ A = \frac{ - 1 + 33}{3} \\ \\ \boxed{A = \frac{32}{3} u.a}$

Espero ter ajudado