Question

Encontre os pontos de intersecção entre a esfera x² + y² + z² = 9 e a reta que liga os pontos P = (1, 1, 1) e Q = (2, 2, 3).

Answer 1

Vamos inicialmente calcular a equação paramétrica da reta. Sendo $\vec{PQ}=(2-1,2-1,3-1)=(1,1,2)$ o vetor diretor da reta, podemos formar a seguinte equação vetorial:

$(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,1,2),\;t\in\mathbb{R}$

Daí tiramos a seguinte equação paramétrica da reta:

$\left\{\begin{matrix}x=1+t\\y=1+t\\z=1+2t\end{matrix}\right.$

Substituindo estes valores na equação da esfera, ficamos com:

$(1+t)^2+(1+t)^2+(1+2t)^2=9$

Desenvolvendo esta expressão, ficamos com a seguinte equação do 2º grau:

$3t^2+4t-3=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, ficamos com as soluções $t=\frac{-2\pm\sqrt{13}}{3}$. Basta agora substituirmos $t$ na equação da reta para achar os pontos de interseção:

$\left\{\begin{matrix}x=1+\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}\\\\y=1+\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}\\\\z=1+2\cdot\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}\\\\y=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}\\\\z=\frac{-1\pm2\sqrt{13}}{3}\end{matrix}\right.$

Concluindo assim que os pontos de interseção são $\left(\frac{1+\sqrt{13}}{3},\frac{1+\sqrt{13}}{3},\frac{-1+2\sqrt{13}}{3}\right)$ e $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{3},\frac{1-\sqrt{13}}{3},\frac{-1-2\sqrt{13}}{3}\right)$.

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que os pontos de interseção entre a reta e a superfície esférica são:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I' = \Bigg(\frac{1 + \sqrt{13}}{3} , \frac{1 + \sqrt{13}}{3} , \frac{-1 + 2\sqrt{13}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I'' = \Bigg(\frac{1 - \sqrt{13}}{3} , \frac{1 - \sqrt{13}}{3} , \frac{-1 - 2\sqrt{13}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

Sejam os dados:

    $\Large\begin{cases}e: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\\ P = (1, 1, 1)\\ Q = (2, 2, 3)\end{cases}$

Para encontrar os pontos de interseção entre a superfície esférica e a reta que contém os pontos "P" e "Q", devemos:

• Determinar a equação paramétrica da reta "r":

        Para isso, devemos desenvolver a seguinte fórmula:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = P + t\vec{v} \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = P + t(\overrightarrow{PQ})\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}G = P + t(Q - P) \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}(x, y, z) = (1, 1, 1) + t[(2, 2, 3) - (1, 1, 1)] \end{gathered}$    

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}(x, y, z) = (1, 1, 1) + t[2 - 1, 2 - 1, 3 - 1] \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}(x, y, z) = (1, 1, 1) + t[1, 1, 2] \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: \Large\begin{cases}x = 1 + t\\ y = 1 + t\\ z = 1 + 2t\end{cases} \end{gathered}$

• Calcular o valor do parâmetro "t":

        Para isso devemos substituir as incógnitas "x", "y" e "z" da superfície esférica pelos valores de "x", "y" e "z" da reta, ou seja:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1 + t)^{2} + (1 + t)^{2} + (1 + 2t)^{2} = 9 \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}1 + 2t + t^{2} + 1 + 2t + t^{2} + 1 + 4t + 4t^{2} = 9 \end{gathered}$

                                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}6t^{2} + 8t + 3 - 9 = 0 \end{gathered}$

                                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}6t^{2} + 8t - 6 = 0 \end{gathered}$

        Calculando o valor do delta:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = 8^{2} - 4\cdot6\cdot(-6)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 64 + 144 \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 208 \end{gathered}$

          Aplicando Bhaskara:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}t = \frac{-8\pm\sqrt{208}}{2\cdot6} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-8\pm4\sqrt{13}}{12} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-2\pm\sqrt{13}}{3} \end{gathered} }$

• Calcular os pontos de interseção:

        Para isso devemos substituir o parâmetro "t" da equação da reta pelos respectivos valores, ou seja:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I' : \Large\begin{cases}x = 1 + \Bigg(\frac{-2+\sqrt{13}}{3} \Bigg) = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}\\ y = 1 + \Bigg(\frac{-2+\sqrt{13}}{3} \Bigg) = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}\\ z = 1 + 2\Bigg(\frac{-2+\sqrt{13}}{3} \Bigg) = \frac{-1 + 2\sqrt{13}}{3} \end{cases} \end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I'' : \Large\begin{cases}x = 1 + \Bigg(\frac{-2-\sqrt{13}}{3} \Bigg) = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}\\ y = 1 + \Bigg(\frac{-2-\sqrt{13}}{3} \Bigg) = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}\\ z = 1 + 2\Bigg(\frac{-2-\sqrt{13}}{3} \Bigg) = \frac{-1 - 2\sqrt{13}}{3} \end{cases} \end{gathered} }$

Portanto, os pontos de interseção são::

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I' = \Bigg(\frac{1 + \sqrt{13}}{3} , \frac{1 + \sqrt{13}}{3} , \frac{-1 + 2\sqrt{13}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I'' = \Bigg(\frac{1 - \sqrt{13}}{3} , \frac{1 - \sqrt{13}}{3} , \frac{-1 - 2\sqrt{13}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/13087465
2. https://brainly.com.br/tarefa/46322117
3. https://brainly.com.br/tarefa/38459646