Question

Mostre, usando a integral definida, que o volume de um cilindro circular reto de Raio da base R e altura h é dado por:

V igual a πR ao quadrado reto h

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre volumes de sólidos de revolução e integração.

Devemos mostrar, por meio de uma integral definida, que o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base $R$ e altura $h$ é dado por $V=\pi\cdot R^2\cdot h$.

Primeiro, lembre-se que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas $y=y(x)$ e $y=0$ (eixo das abscissas), contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$, em torno desse eixo é calculado pela integral: $\displaystyle{V=\pi\cdot\int_a^b (y(x))^2\,dx}$.

Então, seja a reta $y=R$. Definimos um segmento que une a origem $(0,~0)$ a um ponto $(h,~0)$. de comprimento $h$. O volume do cilindro gerado pela revolução deste segmento em torno do eixo das abscissas, no intervalo $[0,~h]$ será calculado pela integral: $\displaystyle{V=\pi\cdot\int_0^h R^2\,dx}$.

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b =F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{V=\pi\cdot R^2\cdot\int_0^h 1\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$V=\pi\cdot R^2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^h$

Some os valores no expoente e denominador

$V=\pi\cdot R^2\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_0^h\\\\\\ V=\pi\cdot R^2\cdot x ~\biggr|_0^h$

Aplique as limites de integração

$V=\pi\cdot R^2\cdot (h-0)$

Some e multiplique os valores

$V=\pi\cdot R^2\cdot h~~\checkmark$

Este é o volume deste cilindro circular reto, calculado por meio de uma integral definida.