Question

Resolva as equações logarítmicas;
a)log2x+log2(x+1)=1
b)log2x+log4x+log16x=7

Answer 1

a) Log 2 X + Log 2 (x+1) = 1

Log 2 X(x+1) = Log 2  2

Corta-se os log base 2 dos dois lados
 x(x+1) =2
X² + X -2 =0

Por baskara temos x¹ =1   e X² = -2

b) Log 2 X + Log 4 X + Log 16 X =7

Log 16 X   + Log 16 X + Log 16 X = 7
_______       ________    
Log 16 2        Log 16  4

Log 16 X  + Log 16 X  + Log 16 X   = 7
-------------     --------------
1/4                1/2

4 Log 16 X  +  2 Log 16 X + Log 16 X = 7

7 Log16 X =7
Log16 X  = 7/7
Log 16 X =1
16 ¹  = X
Resposta X = 16

Answer 2

a) $log_2 \ x \ + \ log_2 \ (x \ + \ 1) \ = \ 1$

Aplicando a propriedade operatória do produto:

$log_2 \ x \ . \ (x \ + \ 1) \ = \ 1$

$log_2 \ x^2 + x \ = \ 1$

x² + x = 2¹
x² + x = 2
x² + x - 2 = 0

Por soma e produto:

S = x' + x" = -b/a  ---> S = -1/1 = -1

P = x' . x" = c/a   ---> P = -2/1 = -2

x' = 1 e x" = -2; pois:

1 + (-2) = 1 - 2 = -1
1 . (-2) = -2

S = {1, -2}



b) $log_2 \ x \ + \ log_4 \ x \ + \ log_{16} \ x \ = \ 7$

$log_2 \ x \ + \ log_{2^{2}} \ x \ + \ log_{2^{4}} \ x \ = \ 7$


Aplicando a propriedade operatória da base de potência:

$log_2 \ x \ + \ \frac{1}{2} \ . \ log_{2} \ x \ + \ \frac{1}{4} \ . \ log_{2} \ x \ = \ 7$


Aplicando a propriedade operatória da potência:

$log_2 \ x \ + \ log_{2} \ x^{\frac{1}{2}} \ + \ log_{2} \ x^{\frac{1}{4}} \ = \ 7$


Aplicando a propriedade operatória do produto:

$log_2 \ x \ . \ x^{\frac{1}{2}} \ . \ x^{\frac{1}{4}} \ = \ 7$

$x \ . \ x^{\frac{1}{2}} \ . \ x^{\frac{1}{4}} \ = \ 2^{7}$

$x^{1 \ + \ \frac{1}{2} \ + \ \frac{1}{4}} \ = \ 128$

$x^{\frac{4 \ + \ 2 \ + \ 1}{4}} \ = \ 128$

$x^{\frac{7}{4}} \ = \ 128$

$x \ = \ \sqrt[7]{128^{4}}$

$x \ = \ \sqrt[7]{(2^7)^{4}}$

$x \ = \ \sqrt[7]{(2^4)^{7}}$

$x \ = \ \sqrt[\not{7}]{(2^4)^{\not{7}}}$


x = 2⁴

x = 16