Question

Determine os focos da hipérbole de equação dada por
X^2-2y^2-2x-4y=3

Answer 1

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⠀⠀☞ Tendo encontrado a equação reduzida da hipérbole, seu centro, seus eixos real e imaginário e sua distância focal pudemos encontrar seus focos (1 + √3, -1) e (1 - √3, -1). ✅  

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⠀⠀ Sendo nossa equação com o termo x² subtraindo y² e o outro lado da igualdade (constante) maior que zero, então temos que esta é uma hipérbole com os focos paralelos ao eixo x (caso não tivéssemos os monômios de -2x e -4y então os focos estariam sobre o eixo x). Eis a equação reduzida desta hipérbole:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} - \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x_0, y_0) }}$ sendo o centro da hipérbole;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a }}$ sendo metade do eixo real;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf b }}$ sendo metade do eixo imaginário;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf c }}$ sendo metade da distância focal e relacionada à a e b através da equação c² = a² + b².

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⠀⠀Para encontrarmos nossa equação da hipérbole em sua forma reduzida iremos primeiro completar quadrados (para x e y):  

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$\LARGE\blue{\sf x^2 - 2x - 2y^2 - 4y = 3}$

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⠀⠀Para os olhos mais treinados temos que nosso binômio em x será da forma (x - 1)² enquanto que para y teremos -2(y + 1)². Para que isso seja possível adicionaremos em ambos os lados um termo (+1), para completar o binômio de x, em um termo (-2), para completar o binômio em y:

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$\large\blue{\sf x^2 - 2x + 1 - 2y^2 - 4y - 2 = 3 + 1 - 2}$

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$\large\blue{\sf (x^2 - 2x + 1) - (2y^2 + 4y + 2) = 2}$

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$\large\blue{\sf (x^2 - 2x + 1) - 2 \cdot (y^2 + 2y + 1) = 2}$

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$\Large\blue{\sf (x - 1)^2 - 2 \cdot (y + 1)^2 = 2}$

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⠀⠀Em seguida, vamos encontrar a equação equivalente em que o lado da igualdade da constante seja igual à 1:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{(x - 1)^2 - 2 \cdot (y + 1)^2}{2} = \dfrac{2}{2}}$  

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{(x - 1)^2}{2} - \dfrac{\diagup\!\!\!\!{2} \cdot (y + 1)^2}{\diagup\!\!\!\!{2}} = 1 }}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{(x - 1)^2}{2} - \dfrac{(y + 1)^2}{1} = 1}$

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⠀⠀Desta forma sabemos que:

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⠀⠀⇒ (x₀, y₀) = (1, -1)⠀

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⠀⠀⇒ a = √2

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⠀⠀⇒ b = √1 = 1

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⠀⠀Podemos agora encontrar o valor de c:

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$\LARGE\blue{\sf c = \sqrt{(\sqrt2)^2 + 1^2}}$

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$\LARGE\blue{\sf c = \sqrt{2 + 1}}$

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$\LARGE\blue{\sf c = \sqrt{3}}$

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⠀⠀Lembrando que nossa hipérbole possui os focos paralelos ao eixo das abscissas então temos que, pela simetria com o centro, seus focos serão:

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⠀⠀⇒ F₁ = (1 + √3, -1) ✅

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⠀⠀⇒ F₂ = (1 - √3, -1) ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre hipérboles:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os focos da hipérbole são, respectivamente:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf F' = (1 - \sqrt{3}, -1)\:\:\:e\:\:\:F'' = (1 + \sqrt{3}, -1)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação geral da hipérbole:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2y^{2} - 2x - 4y = 3\end{gathered}$

Para começar a solução, devemos completar os quadrados do polinômio em "x" e do polinômio em "y", simplificar e determinar a equação reduzida da mesma sob a seguinte fórmula:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{(x - x_{o})^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - y_{o})^{2}}{b^{2}} = 1\end{gathered} }$

Onde:

                         $\Large\begin{cases} a = \textrm{metade eixo real}\\b = \textrm{metade eixo imaginario}\\c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\end{cases}$

Então, temos:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2y^{2} - 2x - 4y = 3\end{gathered}$

        $\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2x + \bigg(\frac{-2}{2}\bigg)^{2} - 2\bigg(y^{2} + 2y + \bigg(\frac{2}{2}\bigg)^{2}\bigg) = 3 + \bigg(\frac{-2}{2}\bigg)^{2} - 2\cdot\bigg(\frac{2}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x^{2} - 2x + 1) - 2\cdot(y^{2} + 2y + 1) = 3 + 1 - 2\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 1)^{2} - 2\cdot(y + 1)^{2} = 2\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{(x - 1)^{2}}{2} - \frac{{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot(y + 1)^{2}}{\!\diagup\!\!\!\!2} = \frac{2}{2}\end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{(x - 1)^{2}}{2} - \frac{(y + 1)^{2}}{1} = 1\end{gathered} }$

Agora podemos recuperar as principais componentes da hipérbole que são:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} O= (x_{o}, y_{o}) = (1, -1)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} a^{2} = 2 \Longrightarrow a = \sqrt{2}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} = 1 \Longrightarrow b = \sqrt{1} = 1\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} F' = (x_{o} - c, y_{o}) = (1 - \sqrt{3}, -1) \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} F'' = (x_{o} + c, y_{o}) = (1 + \sqrt{3}, -1)\end{gathered}$

✅ Portanto, os focos da hipérbole são:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} F' = (1 - \sqrt{3}, -1)\:\:\:e\:\:\:F'' = (1 + \sqrt{3}, -1)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$