Question

Calcule a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=a e x=b.

$f(x)=cos2x, x=- \frac{ \pi }{2}, x= \frac{ \pi }{2}$

Answer 1

$f(x)=cos(2x)$

sabendo que 
$\bmatrix cos(0) = 1\\\\cos( \frac{\pi}{2}) = 0 \end$

observando a função cos(2x)
quando x=0 ...cos(2*0) = 1
quando x =π/4 ...cos(2*π/4) = 0

como o grafico da função cosseno é todo simetrico
a area de cos(2x) no intervalo de -π/2 até π/2 sera
4 vezes a area de cos(2x) no intervalo de 0 até π/4

$\boxed{\boxed{Area = 4* \int\limits^{ \frac{\pi}{4}} _0 {cos(2x)} \, dx }}$

resolvendo
u = 2x 
du = 2.dx -> du/2 = dx

$4* \int\limits^{ \frac{\pi}{4} }_0 {cos(u)} * \frac{du}{2} \\\\\\2 \int\limits^{ \frac{\pi}{4} }_0 {cos(u)} * du\\\\\ 2* [sen(u)]^{ \frac{\pi}{4} }_0\\\\ 2*[sen(2x)]^{ \frac{\pi}{4} }_0\\\\ 2*[sen(2 \frac{\pi}{4}) - sen(2*0) ] = 2$