Question

Seja P o ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes pares e é equidistante aos pontos A(3,0) e B(6,−3).

Analise as PROPOSIÇÕES abaixo e assinale somente a(s) VERDADEIRA(S):

Escolha uma ou mais:
-A área do triângulo ABP é 9 u.a. ;
-A ordenada do ponto P é −3;
-O ponto P∈4∘Q;
-A distância do ponto P até a origem do sistema cartesiano é 3u.c.;
-O ponto A é equidistante de P e da Origem do Sistema;

Answer 1

A bissetriz dos quadrantes pares nada mais é do que a reta de equação $y=-x$. Dessa forma, o ponto em questão é do tipo $P(x,-x)$. Sendo P equidistante a A e B, temos que:

$\sqrt{(x-3)^2+(-x-0)^2}=\sqrt{(x-6)^2+(-x+3)^2}$

Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado:

$(x-3)^2+(-x-0)^2=(x-6)^2+(-x+3)^2$

$(x-3)^2+x^2=(x-6)^2+(-x+3)^2$

Desenvolvendo esta equação, achamos a única solução $x=3$, ou seja, temos que $P=(3,-3)$. Vamos agora analisar as proposições:

• A área do triângulo ABP é 9 u.a.: Falso

Analisando o triângulo ABC, ele é um triângulo retângulo cujos catetos são os lados AP e BP. Sendo a área de um triângulo retângulo igual à metade do produto entre os catetos, temos que:

$A=\frac{d(A,P)\cdot d(B,P)}{2}$

Como $d(A,P)=d(B,p)$:

$A=\frac{[d(A,P)]^2}{2}$

$A=\frac{(3-3)^2+(-3-0)^2}{2}$

$A=\frac{9}{2}\text{ u.a}$

Tornando falsa a alternativa.

• A ordenada do ponto P é −3: Verdadeiro

Sendo $P=(3,-3)$, a alternativa é verdadeira.

• O ponto P∈4∘Q: Verdadeiro

Como a abcissa do ponto é positiva e a ordenada é negativa, ele pertence ao 4º quadrante.

• A distância do ponto P até a origem do sistema cartesiano é 3u.c.: Falso

Sendo o centro $O=(0,0)$, temos que:

$d(P,O)=\sqrt{(3-0)^2+(-3-0)^2}=3\sqrt{2}\text{ u.c}$

• O ponto A é equidistante de P e da Origem do Sistema: Verdadeiro

De fato, a distância de A até P é igual a 3, sendo essa a distância de A até o centro do sistema.