Question

como resolver S 4x²+5x+134 dx=
(x-1) (x+5) (x+3)


o s representa integral

Answer 1

$\boxed{\boxed{ \int\limits { \frac{4x^2+5x+134}{(x-1)*(x+5)*(x+3)} } \, dx }}$

decompondo em frações parciais
$\frac{4x^2+5x+134}{(x-1)*(x+5)*(x+3)} = \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x+5)}+ \frac{C}{(x+3)} \\\\\\\4x^2+5x+134 =A(x+5)(x+3) + B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+5)$

resolvendo fazendo x=1
para zera o C e o B que estão sendo multiplicados por (x-1) quando x for igual a 0 eles serão multiplicados por 0 ...por isso vai zera logo

$4*(1)^2+5*(1)+134=A(1+5)*(1+3)\\\\143=A*(6)*(4)\\\\ \boxed{\frac{143}{24}=A }$

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fazendo x=-5
A e C vão zerar

$4*(-5)^2+5*(-5)+134 = B*(-5-1)*(-5+3)\\\\ \boxed{ \frac{209}{12}=B }$

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fazendo x=-3
$\boxed{ \frac{-155}{8}=C }$

agora temos 

$\frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x+5)}+ \frac{C}{(x+3)} \\\\\\\frac{4x^2+5x+134}{(x-1)*(x+5)*(x+3)}= \frac{143}{24}* \frac{1}{(x-1)}+ \frac{209}{12}* \frac{1}{(x+5)} - \frac{155}{8}* \frac{1}{(x+3) }$

então a integral será 
$\int\limits \left(\frac{143}{24}* \frac{1}{(x-1)}+ \frac{209}{12}* \frac{1}{(x+5)} - \frac{155}{8}* \frac{1}{(x+3) } \right) dx \\\\\ =\int\left( \frac{143}{24}* \frac{1}{(x-1)} \right)dx + \int\left( \frac{209}{12}* \frac{1}{(x+5)}\right)dx + \int\left( - \frac{155}{8}* \frac{1}{(x+3) }\right)dx$

resolvendo  sabendo que 
$\boxed{\boxed{\int \frac{1}{(x+K)}\,dx =ln(x+K)+C}}$

temos como resultado
$\boxed{\boxed{ \frac{143}{24}ln(x-1)+ \frac{209}{12}ln(x+5) - \frac{155}{8}*ln(x+3) + C}}$