Question

ALGUÉM PODE ME AJUDAR COM ESSA QUESTÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL?
é de esfera e cone

Answer 1

A área lateral a_l de um cone, de geratriz g e raio da base r, é dada por

$a_l = \pi \: r \: g \: \: \: \: \: \: \: \: (1)$

Se as bases do cone e do hemisfério são coincidentes, então o diâmetro 2*r da base do cone é igual ao diâmetro do hemisfério, logo

$2r = 15 \: dm$

Logo

$r = 7,5 \: dm$

Supondo que "equivalentes" signifique que o cone e o hemisfério tenham o mesmo volume v, podemos igualar o volume do hemisfério de raio r_h ao do cone.

$v = \frac{ \pi}{3} \: {r}^{2} \: h\: = \frac{1}{2} \frac{4}{3} \pi \: (r_{h})^{3}$

Onde h é a altura do cone e multiplicamos o volume de uma esfera de raio r_h por (1/2), já que um hemisfério tem metade do volume de uma esfera de mesmo raio. Isolando h e já levando em conta que r=r_h

$h \: = 2 r$

Sabemos pela relação trigonométrica que

$g^2 = h^2 + r^2$

Logo

$g^2 = 4 r^2 + r^2$

Portanto

$g= ± \sqrt(5) r$

g é positivo, portanto a raiz correta é com sinal positivo. Substituindo h na equação (1)

$a_l = \pi r g= \pi \: \sqrt{5} {r}^{2} \\ a_l = \pi \: \sqrt{5} {(7,5)}^{2} = ( \pi \sqrt{5} \: 56,25 )\: {dm}^{2}$