Sabemos que é possível determinar a lei da função afim conhecendo apenas dois pontos dela,uma função afim é dada por f(x)= ax+ b, sabe- se que f(2)=8 e f(-2)-4. A lei dessa função é: *
1 ponto
A) f(x)= X+ 5
B) f(x)=-3x-7
C)f(x)=-3x+2
D)f(x)=3x+2
E)f(x)= x+4
Respostas
Resposta:
Vamos determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).
Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes precisamos apenas de dois pontos e o valor da função nesses pontos.
Antes de mostrarmos a expressão do caso geral, vejamos como proceder em um exemplo.
Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos.
Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b
Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b
Destacaremos essas duas relações de igualdade:
6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte resultado:
4=a+b
2=a, ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. Usaremos a segunda:
4=a+b
como a=2 teremos , 4=2+b assim teremos, b=2
Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4 e f(2)=6, será a seguinte:
f(x)=2x+b.
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Mas este é o processo realizado para um caso específico. Como seria a expressão para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer função? Veremos agora.
Seja y1=f(x1) e y2=f(x2), sendo estes pontos, pontos distintos. Teremos que a expressão destes pontos será dada da seguinte forma:
y1=f(x1)=ax1+b
y2=f(x2)=ax2+b, faça a subtração da expressão debaixo pela de cima. Com isso, teremos:
Expressão obtida após a subtração das duas equações.
Tendo a expressão para o coeficiente a, substituiremos a expressão para esse coeficiente em y1.
Obtendo a expressão para o coeficiente (b)
Desta forma, veja que as expressões para os coeficientes a, b, são determinadas apenas pelos valores dos pontos, valores estes que conhecemos.
Com isso, vimos que é possível determinar uma função afim, conhecendo apenas os valores de dois pontos.