Question

Determine todas as correntes elétricas no circuito

Answer 1

Acompanhe com auxilio dos desenhos anexados à resolução.

Nesta resolução, vou utilizar o método das correntes de malha em acordo com a Lei de Kirchhoff das Tensões.

Vamos começar destacando os 3 ramos no circuito, em diferentes cores na figura. Em cada um desses ramos, teremos uma corrente que podem ou não ter diferentes módulos.

Ainda observando o circuito, podemos ver que este possui 2 malhas simples.

Assumindo que pelo ramo vermelho passe uma corrente i₁ no sentido horário, pelo ramo azul, uma corrente i₂ também no sentido horário e no ramo vermelho&azul, uma corrente i₃ apontada para baixo.

Seguindo o método das tensões de malha, sabemos o somatório das quedas (e elevações) de tensão na malha devem resultar em 0 (zero), assim, tendo duas malhas simples, poderemos achar 2 equações.

$Malha~Vermelha:\\\\\\-2\cdot i_1~-~3\cdot i_1~+~16~-~1\cdot i_1~+~8~-~6\cdot i_3~-~18~=~0\\\\-2i_1-3i_1+16-i_1+8-6i_3-18~=~0\\\\-6i_1-6i_3+6~=~0\\\\\boxed{i_1+i_3~=~1}~~Equacao~1\\\\\\Malha~Azul:\\\\\\-4\cdot i_2~+~18~+~6\cdot i_3~-~2\cdot i_2~+~9~-~1\cdot i_2~=~0\\\\-4i_2+18+6i_3-2i_2+9-i_2~=~0\\\\-7i_2+6i_3+27~=~0\\\\\boxed{7i_2-6i_3~=~27}~Equacao~2$

Temos 2 equações com 3 incógnitas (i₁, i₂ e i₃), logo precisamos de uma 3ª equação para podermos determinar o valor das correntes.

Observe então que, no ramo vermelho&azul, a corrente i₃ é a superposição das correntes i₁ e i₂, ou seja, levando em conta os sentidos adotados paras essas correntes, temos:

$\boxed{i_3~=~i_1-i_2}~Equacao~3$

Substituindo i₃ nas equações 1 e 2 pela sua expressão em função de i₁ e i₂, ficamos com:

$Equacao~1:\\\\i_1+i_3~=~1\\\\i_1+i_1-i_2~=~1\\\\\boxed{2i_1-i_2~=~1}\\\\\\Equacao~2:\\\\7i_2-6i_3~=~27\\\\7i_2-6\cdot (i_1-i_2)~=~27\\\\7i_2+6i_2-6i_1~=~27\\\\\boxed{-6i_1+13i_2~=~27}$

Somando a 2ª equação com o triplo da 1ª:

$(-6i_1+13i_2)~+~3\cdot(2i_1-i_2)~=~27~+~3\cdot 1\\\\\\-6i_1+13i_2+6i_1-3i_2~=~27+3\\\\\\10i_2~=~30\\\\\\i_2~=~\dfrac{30}{10}\\\\\\\boxed{i_2~=~3~A}$

Substituindo este valor em uma das duas equações achadas, poderemos determinar o valor de i₁:

$2i_1-i_2~=~1\\\\\\2i_1-3~=~1\\\\\\2i_1~=~1+3\\\\\\i_1~=~\dfrac{4}{2}\\\\\\\boxed{i_1~=~2~A}$

Por fim, vamos calcular o valor de i₃ com ajuda da Equação 3:

$i_3~=~i_1-i_2\\\\\\i_3~=~2-3\\\\\\\boxed{i_3~=\,-1~A}$

O sinal negativo em i₃ apenas nos indica que o sentido adotado (para baixo) estava incorreto e que, na verdade, i₃ é uma corrente de 1 Ampere apontada para cima.

Assim a resposta correta é a 2ª alternativa (2A, 1A e 3A).

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$