Question

A função f(x,y)=3x2−2xy+y2+8y possuiu um único ponto crítico. Qual é esse ponto?

Answer 1

Resposta:

P(-2,-6).

Explicação passo-a-passo:

Temos que f(x,y) = 3x²-2xy+y²+8y. Primeiro, encontramos a derivada parcial com relação à x:

δ/δx = 6x -2y.

E depois, com relação à y:

δ/δy = -2x + 2y + 8.

Temos que um ponto crítico possui a propriedade que f'(c) = 0. Assim:

δ/δx(c) = 0 e δ/δy(c) = 0 ⇒ 6x - 2y = 0 e -2x+2y+8 = 0.

Temos um sistema linear agora. Basta resolvê-lo.

-2x+2y+8 = 0 ⇒ 2x = 2y + 8 ⇒ x = y + 4.

6x - 2y = 0 ⇒ 6(y+4) -2y = 0

6y + 24 - 2y = 0 ∴ y = -6.

⇒ x = -6 + 4 ∴ x = -2.

Resposta: P(-2,-6).

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre pontos críticos de funções de duas ou mais variáveis.

Seja a função $f(x,~y)=3x^2-2xy+y^2+8y$. Diz-se que esta função possui apenas um ponto crítico e devemos determiná-lo.

Lembre-se que um ponto crítico é aquele onde a reta ou plano tangente a função tem inclinação igual a zero. Assim, devemos calcular as derivadas parciais desta função em respeito às variáveis e igualá-las a zero.

Primeiro, calculamos a derivada parcial $\dfrac{\partial f}{\partial x}$:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2-2xy+y^2+8y)$

A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis em respeito a uma de suas variáveis respeita as seguintes regras:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A outra variável da função é considerada como uma constante para efeito de cálculos. Com isso, sua derivada é igual a zero.
• A derivada de um produto entre funções é calculada pela regra do produto. Em sendo uma derivada parcial, aplica-se a regra da constante: $\dfrac{\partial}{\partial x}(a\cdot f(x))=a\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))$.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2)+\dfrac{\partial}{\partial x}(-2xy)+\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2)+\dfrac{\partial}{\partial x}(8y)$

Aplique a regra da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=3\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)-2y\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)+0+0$

Aplique a regra da potência, multiplique e some os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=3\cdot2\cdot x^{2-1}-2y\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}=6x-2y$

Agora, calculamos a derivada parcial $\dfrac{\partial f}{\partial y}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2-2xy+y^2+8y)$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(-2xy)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(8y)$

Aplique a regra da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=0-2x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)+8\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)$

Aplique a regra da potência, multiplique e some os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x\cdot 1\cdot y^{1-1} +2\cdot y^{2-1}+8\cdot1\cdot y^{1-1}\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x+2y+8$

Então, igualamos as duas derivadas parciais a zero e teremos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}6x-2y=0\\-2x+2y+8=0\\\end{cases}$

Subtraia $8$ em ambos os lados da segunda equação

$\begin{cases}6x-2y=0\\-2x+2y=-8\\\end{cases}$

Multiplique a segunda equação por um fator $3$ e some à primeira equação

$\begin{cases}6x-2y=0\\-2x+2y=-8~\times (3)\\\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}6x-2y=0\\-6x+6y=-24\\\end{cases})\\\\\\ 6x-2y+(-6x+6y)=0-24$

Some os termos semelhantes e cancele os termos opostos

$4y=-24$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $4$

$y=-6$

Substituindo este resultado em quaisquer uma das equações, teremos:

$6x-2\cdot(-6)=0$

Multiplique os valores

$6x+12=0$

Subtraia $12$ em ambos os lados da equação

$6x=-12$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $6$

$x=-2$

Assim, o único ponto crítico da função $f(x,~y)$ é o ponto $(-2,\,-6)~~\checkmark$