Question

O radioisótopo Tecnécio-99 tem meia-vida de 6 horas. Considerando uma amostra
inicial de 200 g desse elemento:
a) Escreva uma função com a qual seja possível calcular a quantidade de tecnécio-99 em
qualquer instante de tempo;
b) Usando a função do item anterior, calcule a massa remanescente de tecnécio-99
restante na amostra após decorrido um dia da pesagem inicial.

Answer 1

A questão trata de funções exponenciais, tomando o estudo de decaimento radioativo. Um elemento é dito radioativo se ele naturalmente utiliza de sua própria massa para liberar partículas de alta velocidade chamadas radioativas. O mecanismo radioativo de uma substância é tal que a quantidade de massa perdida por tal é proporcional à quantidade de massa existente. Este comportamento é próprio de funções exponenciais, que são funções do tipo

$Q(t) = A\cdot 2^{Bt}$

Com A, B números reais. Para determinar tais coeficientes de nossa função utilizamos de duas informações importantes sobre nossa amostra

• Quantidade Inicial de substância
• Meia vida da amostra

A quantidade inicial é a quantidade de massa radioativa em t = 0, deste modo, se esta quantidade é igual à Q₀,

$Q(0) = Q_0$

$A\cdot 2^{B\cdot 0} = A\cdot 2^{0} = A = Q_0$

Obtemos o primeiro coeficiente conhecendo sua quantidade inicial. O outro coeficiente é obtido pela meia vida da amostra.

A meia vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a quantidade de material se reduza à metade, deste modo, partindo do inicial, teremos que a meia vida, λ é

$Q(\lambda) = \dfrac{Q_0}{2}$

$Q_0\cdot2^{B\lambda} = \dfrac{Q_0}{2}$

$2^{B\lambda} = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$

$B = \dfrac{-1}{\lambda}$

Assim, a função que determina a quantidade de material radioativo, dada a quantidade inicial e a meia vida do material é

$Q(t) = Q_0\cdot 2^{-\frac{1}{\lambda}}$

No caso de nossa amostra de Tecnécio-99, cuja meia-vida é de 6 horas e a quantidade inicial é de 200 gramas, a quantidade de material após t horas, em gramas, será dada pela função

$Q(t) = 200\cdot 2^{-\frac{t}{6}}$

Sabendo desta relação, teremos que, após um dia (24 horas) após teríamos um restante de

$Q(24) = 200\cdot 2^{-\frac{24}{6}} = 200\cdot 2^{-4}$

$Q(24) = \dfrac{200}{16} = 12.5 \hspace{0.15cm}\mathrm{g}$

Após um dia a quantidade de material radiotivo será igual à 12,5 gramas de Tecnécio.