Question

O corpo humano tem uma sensibilidade fisiológica às mudanças bruscas de velocidade. Quando a aceleração é na direção dos pés a cabeça, como ocorre durante o amortecimento de queda pelo bungee jump, por exemplo, o sangue é empurrado para a cabeça e a quantidade de sangue voltando da cabeça é reduzida, tendendo a estagnar. Uma pessoa não pode suportar mais de 2 Gs negativos (desaceleração 2 vezes maior que a aceleração da gravidade, g = 10 m/s²) antes de perder a consciência devido a todo o sangue do corpo inundando a cabeça. Imagine, então uma praticante de ioiô humano de 62,5 kg (bungee jump) caindo livremente 20 m, de uma ponte de 40 m de altura, presa a uma corda elástica. Em seguida, a corda elástica começa a se alongar produzindo uma desaceleração constante até a praticante atingir velocidade nula, quando então é puxada para cima, estabelecendo um movimento de vai-e-vem. A fim de não ocorrer um desmaio da praticante durante a atuação da corda elástica, qual deve ser o valor máximo da constante elástica (valor de k) dessa corda?

Answer 1

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⠀⠀☞ Para evitar um desmaio pela desaceleração temos que a constante elástica máxima para esta corda elástica deverá ser de 375 [N/m]. ✅

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⠀⠀ Pela Lei da Conservação da Energia Mecânica vamos analisar dois intervalos de tempo:

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• ⠀⠀Do início da queda livre, onde a praticante de bungee jump tem somente energia potencial gravitacional, até o instante em que a corda elástica se estica completamente (na iminência de iniciar o alongamento), onde ela tem energia potencial gravitacional e também energia cinética, onde ele percorre uma distância de 20 [m];

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• ⠀⠀Do início do alongamento até o final do alongamento, onde ela percorre uma distância de x [m], convertendo parte da energia potencial gravitacional e toda a energia cinética em energia potencial elástica.

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⠀⠀Do primeiro intervalo temos:

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$\LARGE\blue{\sf E_{mec_i} = E_{mec_f}}$

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$\Large\blue{\text{ \sf \diagup\!\!\!\!{m} \cdot g \cdot h_i = \diagup\!\!\!\!{m} \cdot g \cdot h_f + \dfrac{\diagup\!\!\!\!{m} \cdot v_f^2}{2} }}$

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$\LARGE\blue{\sf 10 \cdot 40 = 10 \cdot 20 + \dfrac{v_f^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf 400 = 200 + \dfrac{v_f^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{v_f^2}{2} = 400 - 200}$

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$\LARGE\blue{\sf v_f^2 = 2 \cdot 200}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{v_f^2} = \sqrt{400}}$

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$\LARGE\blue{\sf v_f = 20~m/s}$

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⠀⠀Sabendo que nosso limite de desaceleração é de 20 m/s² então podemos, pela equação de Torricelli, encontrar qual a distância máxima percorrida com esta desaceleração:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta s}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\sf 0^2 = 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot \Delta s}$

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$\LARGE\blue{\sf 40\Delta s = 400}$

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$\LARGE\blue{\sf \Delta s = \dfrac{400}{40}}$

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$\LARGE\blue{\sf \Delta s = 10~m}$

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⠀⠀Sabendo qual é alongamento mínimo que a corda elástica deve ter, temos para o segundo intervalo:

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$\LARGE\blue{\sf E_{mec_i} = E_{mec_f}}$

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$\large\blue{\sf m \cdot g \cdot h_i + \dfrac{m \cdot v_i^2}{2} = m \cdot g \cdot h_f + \dfrac{k \cdot x^2}{2}}$

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$\blue{\sf 62,5 \cdot 10 \cdot 20 + \dfrac{62,5 \cdot 20^2}{2} = 62,5 \cdot 10 \cdot (20 - 10) + \dfrac{k \cdot 10^2}{2}}$

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$\Large\blue{\sf 12.500 + 12.500 = 6.250 + 50k}$

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$\LARGE\blue{\sf 50k = 25.000 - 6.250}$

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$\LARGE\blue{\sf k = \dfrac{18.750}{50}}$

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$\LARGE\blue{\sf k = 375}$

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{k}~\pink{=}~\blue{ 375~[N/m] }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Veja mais exercícios com energia potencial elástica:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$