Question

Derive a função f'(x)= \frac{x-1}{x+1} sen^{2}x

Answer 1

Olá, siga a explicação:

Regra Do Quociente:

$f(x)= \dfrac{x-1}{x+1} sen^{2}x \\ \\\\ \boxed {\dfrac{d}{dx} \left [ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right ]= \dfrac{g(x) \dfrac{d}{dx} \left [ f(x) \right ] - f(x) \dfrac{d}{dx} \left [ g(x) \right ] } {g(x)^2} .}$

Considerando função seno:

Substituindo:

$\boxed { \boxed {\dfrac{2}{(x+1)^2} \cdot sen^2 (x) + \dfrac{x-1}{x+1} \cdot sen (2x) } } }$

• Att. MatiasHP

Answer 2

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de derivadas.

Devemos calcular a derivada da seguinte função: $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\cdot\sin^2(x)$ .

Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável $x$:

$(f(x))'=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\cdot\sin^2(x)\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada do produto entre duas funções é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma função racional, isto é, razão entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e deriváveis, com $g'(x)\neq0$ é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $(\sin(x))'=\cos(x)$.  

Aplique a regra do produto

$f'(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot(\sin^2(x))'$

Aplique a regra do quociente e da cadeia

$f'(x)=\dfrac{(x-1)'\cdot (x+1)-(x-1)\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot(\sin(x))'\cdot 2\cdot\sin^{2-1}(x)$

Aplique a regra da soma e calcule a derivada da função seno

$f'(x)=\dfrac{((x)'-(1)')\cdot (x+1)-(x-1)\cdot((x)'+(1)')}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot2\sin(x)\cos(x)$

Aplique a regra da potência e da constante

$f'(x)=\dfrac{(1-0)\cdot (x+1)-(x-1)\cdot(1+0))}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot2\sin(x)\cos(x)\\\\\\\ f'(x)=\dfrac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot2\sin(x)\cos(x)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos

$f'(x)=\dfrac{x+1-x+1}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot2\sin(x)\cos(x)\\\\\\\ f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot2\sin(x)\cos(x)$

Reescreva a expressão utilizando a identidade $2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)$

$f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}\cdot\sin^2(x)+\dfrac{x-1}{x+1}\cdot\sin(2x)~~\checkmark$

Esta é a derivada desta função.