Question

Uma explosão do nivel do solo produz uma cratera com um diametro proporcional á raiz cubica da energia da explosao; uma explosão de 1 megaton de TNT deixa uma cratera com 50 km de diametro, atribuida ao impacto de um asteroide no passado remoto. Qual é a energia cinética associada a esse impacto, em unidades (a) de megatons de TNT (1 megaton equivale a 4,2 x 10^15 J) e (b) bombas em Hiroshima (uma bomba em Hiroshima equivale 13 quilotons de TNT)? (Impactos de meteoritos e cometas pode ter alterado significativamente o clima da Terra no passado e contribuido para a extinção de dinossauros e outras formas de vida).

obs:
a resposta tem que dar:
a) 1x10^5 megatons de TNT
b) 1x10^7 bombas

Answer 1

Resposta:

$a)\;\;1 \times 10^5\;megatons\;de\;TNT\\\\b)\;\;1 \times 10^7\;bombas\;de\;Hiroshima$

Explicação:

Falta uma parte do início do enunciado. O correto seria:

"Uma explosão no nível do solo produz uma cratera com diâmetro proporcional à raiz cúbica da energia da explosão; uma explosão de 1 megaton de TNT deixa uma cratera de 1 km de diâmetro. Sob o lago Huron, em Michigan, existe uma cratera com 50 km de diâmetro, atribuída ao impacto de um asteroide no passado remoto".

Se o diâmetro (d) é proporcional à raiz cúbica da energia (E), então

$d=k\;.\;\sqrt[3]{E}$

onde k é a constante de proporcionalidade.

Se 1 megaton de TNT ($4,2 \times 10^{15}\;J$) deixa uma cratera de 1 km = 1.000 m de diâmetro, então

$d=k\;.\;\sqrt[3]{E}\\\\1.000=k\;.\;\sqrt[3]{4,2 \times 10^{15}}\\\\1.000=k\;.\;\sqrt[3]{4,2}\;.\;\sqrt[3]{10^{15}}\\\\1.000=k\;.\;1,613\;.\;10^{5}\\\\1.000=k\;.\;161.300\\\\k=\dfrac{1.000}{161.300}\\\\k=0,0062$

O diâmetro (d) da cratera do asteroide é igual a

$d=50\;km\\d=50.000\;m\\d=5 \times 10^4\;m$

Portanto,

$d=k\;.\;\sqrt[3]{E}\\\\5 \times 10^4=0,0062\;.\;\sqrt[3]{E}\\\\\sqrt[3]{E}=\dfrac{5 \times 10^4}{0,0062}\\\\\sqrt[3]{E}=8,065 \times 10^6\\\\(\sqrt[3]{E})^3=(8,065 \times 10^6)^3\\\\E=(8,065)^3 \times (10^6)^3\\\\E=525 \times 10^{18}\\\\E=5,25 \times 10^{20}\;J$

Agora, basta fazer a conversões

$a=\dfrac{E}{4,2 \times 10^{15}}\\\\a=\dfrac{5,25 \times 10^{20}}{4,2 \times 10^{15}}\\\\a=\dfrac{5,25}{4,2} \times 10^{(20-15)}}\\\\\boxed{a=1,25 \times 10^{5} \approx 1 \times 10^5\;megatons\;de\;TNT}$

13 quilotons de TNT = 0,013 megatons de TNT. Logo,

$b=\dfrac{E}{0,013\;.\;4,2 \times 10^{15}}\\\\b=\dfrac{5,25 \times 10^{20}}{0,0546 \times 10^{15}}\\\\b=\dfrac{5,25 \times 10^{20}}{5,46 \times 10^{13}}\\\\b=\dfrac{5,25}{5,46} \times 10^{(20-13)}}\\\\\boxed{b=0,96 \times 10^{7} \approx 1 \times 10^7\;bombas\;de\;Hiroshima}$