Question

Seja a variável aleatória normal, X, com média μ = 15 e variância σ² = 4,0. P(14,68 < X < 15,00) vale?

Escolha uma opção:

a.
0,0551


b.
0,0100


c.
0,2524


d.
0,0992


e.
0,0636

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Por meio de quaisquer dos processos descritos mais abaixo, foi possível concluir que a alternativa e) 0,0636 é aquela que se adequa aos valores enunciados.

• Inicialmente, diz-se que uma variável contínua aleatória é normal, isto é, tem distribuição normal, quando a função densidade de probabilidade for escrita por:

$\large\green{\sf \: f(x) =  \frac{1}{ \sqrt{2\pi\sigma^{2} } } exp[ -  \frac{1}{2}( \frac{x -\mu}{\sigma}  ) ^{2} ],x\in( -  \infty , \infty )}$

• Indicamos o excerto acima pela notação X ⁓ N(μ,σ²).

• Convém reduzirmos (ou padronizarmos) a distribuição à variável Z, onde:

$\large{\green { \:  \:  \:  \:  \:  \: \: \: Z =  \frac{x - \mu}{\sigma} }}$

• Assim, temos que, na forma padronizada, μ=0 e σ=1. Logo, a função densidade de probabilidade pode ser reescrita como:

$\:  \:  \:  \sf\large{\green {f(z)=  \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} exp( -  \frac{z^{2} }{2})  }}$

$\bf{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \:  \: }}$

Portanto, sabendo que a área compreendida abaixo da curva da função entre dois pontos nos permite obter a probabilidade requerida, utilizaremos integrais para tal (ou podemos usar tabelas).

A questão quer P(14,68 < X < 15,00), sendo que X ⁓ N(μ = 15; σ² = 4,0) - isto é, a variável X tem distribuição normal com parâmetros μ = 15 e σ² = 4,0, respectivamente, a média e a variância do observado.

Reduzindo à variável Z, obtemos:

$\large\blue{ \: P(14,68<X<15,00)=} \\\large\blue{P(\frac{14,68-15}{2,0}<\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{15,00-15}{2,0})}\\\large\blue{P(-0,16<Z<0)}$

Nesse sentido, queremos a área da função padronizada compreendida entre -0,16 e 0,0, a qual pode ser obtida por meio da integral definida da função entre esses dois pontos. Logo:

$\large{\blue{\int\limits^0_{{ - } - 0,16} {\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \:exp(-\frac{z^2}{2}) } \, dz}} \blue{=0,0635595} \\ \large\boxed{\red{\approx{0,0636}}}$

Obs.: Cabe mencionar que a função imediatamente abaixo não tem primitiva elementar; significa que não há a possibilidade de se encontrar a integral de maneira exata. Nesse caso, pode haver utilização de um sistema computacional ou calculadoras e regras de cálculo para estimar a integral.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \large\orange{y = e ^{ - {x}^{2} } }$

Ou, analisando os valores das integrais na tabela da distribuição normal (ver valores indicados no anexo) e verificando o resultado, tomando a propriedade:

$\large\orange{P(a<Z<b) = P(Z<b) - P(Z<a)}$

Concluímos:

$\large\blue{P(-0,16<Z<0)}\\\large\blue{=P(Z<0)-P( Z<-0,16) }\\\large \blue{=0,5000-0,4364} \\\large\red{\boxed{ =0,0636}}$

Então, segue-se a resposta.

Bons estudos!