Question

Observei que o ponteiro das horas e dos minutos de meu relógio estevam sobrepostos às 4horas 21min 48seg. Fiz os cálculos e conclui que eles estarão novamente sobrepostos às:
a) 5h 21min 48seg
b) 5h 27min 16seg
c) 5h 27min 28seg
d) 5h 28min 27seg
e) 5h 28min 15seg

Answer 1

Observe que:

• O ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 360÷12 = 30°.
• O ângulo entre dois tracinhos de minuto é 30÷5 = 6°.

Considere:

• Quando um ponteiro está na posição 12 do relógio seu ângulo é 0°.

• θs: posição em graus do ponteiro dos segundos
• θh: posição em graus do ponteiro das horas
• θm: posição em graus do ponteiro dos minutos
• h: hora
• m: minuto
• s: segundo

O ponteiro dos segundos se desloca …:

• 360° a cada 60 segundos, ou seja, 6° por segundo. Portanto:

θs = 6s

O ponteiro dos minutos se desloca …:

• 360° a cada 60 minutos, ou seja, 6° por minuto, mais
• 6° a cada 60 segundos, ou seja, (1/10)° por segundo. Portanto:

$\large \sf \Theta m = 6m + \dfrac{1}{10} \cdot s$

O ponteiro das horas se desloca …:

• 360° a cada 12 horas, ou seja, 30° por hora, mais
• 30° a cada 60 minutos, ou seja, (1/2)° por minuto, mais
• 1/2° a cada 60 segundos, ou seja, (1/120)° por segundo. Portanto:

$\large \sf \Theta h = 30h + \dfrac{1}{2} \cdot m + \dfrac{1}{120} \cdot s$

• Os ponteiros das horas e minutos estarão sobrepostos quando θh for igual a θm.

θh = θm

$\large \sf 30h + \dfrac{1}{2} \cdot m + \dfrac{1}{120} \cdot s = 6m + \dfrac{1}{10} \cdot s$  ①

• Observe na equação acima que em determinadas situações não podemos reduzir os termos semelhantes pois ambos os membros são valores que possuem um significado específico, como por exemplo para conferir: Em 4h 21min 48 seg, temos:

$\large \sf 30 \times 4 + \dfrac{1}{2} \times 21 + \dfrac{1}{120} \times 48 = 6 \times 21 + \dfrac{1}{10} \times 48$

130,8° ≅ 130,9°

Para solucionar o exercício: Após as 5 horas (h = 5), substitua o valor de h na equação ①:

$\large \sf 30 \times 5 + \dfrac{1}{2} \cdot m + \dfrac{1}{120} \cdot s = 6m + \dfrac{1}{10} \cdot s$

$\large \sf 150+ \dfrac{1}{2} \cdot m + \dfrac{1}{120} \cdot s = 6m + \dfrac{1}{10} \cdot s$  ②

• Para determinar o valor de m, despreze s.

$\large \sf 150+ \dfrac{1}{2} \cdot m = 6m$

150 = 5,5m

m = 27

• Determine s usando a equação ②.

$\large \sf 150+ \dfrac{1}{2} \cdot m + \dfrac{1}{120} \cdot s = 6m + \dfrac{1}{10} \cdot s$

• Reduza os termos semelhantes observando que:

$\large \sf \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{120} = \dfrac{12 - 1}{120} = \dfrac{11}{120}$  e

$\large \sf 6 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{12 - 1}{2} = \dfrac{11}{2}$

$\large \sf 150 = \dfrac{11}{2} \cdot m + \dfrac{11}{120} \cdot s$  ⟹ Substitua o valor de m.

$\large \sf 150 = \dfrac{11}{2} \cdot 27 + \dfrac{11}{120} \cdot s$

$\large \sf 150 = 148,5+ \dfrac{11}{120} \cdot s$

$\large \sf 1,5 = \dfrac{11}{120} \cdot s$

$\large \sf s = \dfrac{1,5 \times 120}{11}$

s = 16,36… seg

Os ponteiros estarão novamente sobrepostos às 5h 27 min 16 seg.

Resposta: Alternativa B.

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