Question

Um teste foi realizado com o foguete VS-40 pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

(INPE). Neste teste, o artefato se despega com um ângulo de 53,0º com a horizontal e uma

velocidade inicial de 100m/s. O VS-40 viaja ao longo de uma linha reta com uma aceleração de

30,0m/s2 durante 3,00s. Justo neste momento, quando já se encontra sobre o mar, o combustível

acaba e sua direção é alterada para uma reta vertical e o foguete começa a se mover como um

corpo livre (ver figura). Quando o VS-40 cai no mar ele é recuperado para estudo. Determine:

(a) a altura máxima alcançada pelo foguete VS-40,

(b) o tempo total de vôo, e

(c) seu alcance horizontal.

(considere o valor da gravidade constante durante o percurso e igual a 9,8m/s2)

Answer 1

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⠀⠀☞ O foguete VS-40 alcançará uma altura máxima de 1.522,15 metros, tendo um tempo total de vôo de 18,48 segundos e um alcance horizontal de 272,62 metros. ✅

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⠀⠀Vamos incialmente encontrar a sua velocidade no momento em que sua direção é alterada através da função horária da velocidade:

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf V(t) = V_0 + a \cdot t }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s].

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$\LARGE\blue{\sf v(3) = 100 + 30 \cdot 3}$

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$\LARGE\blue{\sf v(3) = 100 + 90}$

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$\LARGE\blue{\sf v(3) = 190~m/s}$

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⠀⠀Quando o foguete muda de direção consideramos que a componente horizontal da velocidade é anulada enquanto que a componente vertical é mantida. Decompondo a velocidade temos que:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~V_x = V \cdot cos(53^{\circ})\\\\\sf~V_x = 190 \cdot 0,602\\\\\sf~V_x = 114,34~m/s\\\\\\\\\sf~V_y = V \cdot sen(53^{\circ})\\\\\sf~V_y = 190 \cdot 0,799\\\\\sf~V_y = 151,74~m/s \end{cases}}$

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(a) a altura máxima alcançada pelo foguete VS-40,

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⠀⠀Vamos encontrar a distância inclinada que o foguete percorre antes de mudar a direção do seu percurso através da função horária da posição (também chamada de fórmula do sorvetão):

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S_0 }}$ sendo a posição inicial do objeto [m];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²]  

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$\LARGE\blue{\sf s(3) = 0 + 100 \cdot 3 + \dfrac{30 \cdot 3^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf s(3) = 300 + 15 \cdot 9}$

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$\LARGE\blue{\sf s(3) = 300 + 135}$

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$\LARGE\blue{\sf s(3) = 435~m}$

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⠀⠀Com essa distância podemos agora encontrar a altura que ele atinge no final da primeira etapa pela relação trigonométrica do seno:

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$\LARGE\blue{\sf sen(53) = \dfrac{h_1}{s(3)}}$

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$\LARGE\blue{\sf h_1 = 0,799 \cdot 435}$

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$\LARGE\blue{\sf h_1 = 347,4~m}$

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⠀⠀Analisando sua velocidade no eixo vertical na segunda etapa através da função horária da velocidade encontramos o tempo que ele demora para alcançar sua altura máxima:

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$\LARGE\blue{\sf 0 = 151,74 - 9,8 \cdot t_2}$

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$\LARGE\blue{\sf t_2 = \dfrac{151,74}{9,8}}$

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$\LARGE\blue{\sf t_2 = 15,48~s}$

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⠀⠀Com o tempo teremos que a altura máxima que ele atingirá nesta segunda etapa será também encontrada através da fórmula do sorvetão:

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$\blue{\sf h_1 + h_2 = 347,4 + 151,74 \cdot 15,48 - \dfrac{9,8 \cdot 15,48^2}{2}}$

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$\Large\blue{\sf = 347,4 + 2.348,94 - 4,9 \cdot 239,63}$

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$\LARGE\blue{\sf = 2.696,34 - 1.174,19}$

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$\LARGE\blue{\sf = 1.522,15~m}$

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{h_{max}}~\pink{=}~\blue{ 1.522,15~[m] }~~~}}$ ✅

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(b) o tempo total de vôo, e

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⠀⠀Seu tempo máximo de vôo (ou seja, sem considerar o tempo de queda) será de 3 + 15,48 = 18,48s

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{t_{max}}~\pink{=}~\blue{ 18,48~[s] }~~~}}$ ✅

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(c) seu alcance horizontal.

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⠀⠀Seu alcance horizontal será de:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf cos(53) = \dfrac{d_{max}}{453} }}$

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$\LARGE\blue{\sf d_{max} = 0,602 \cdot 453}$

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$\LARGE\blue{\sf d_{max} = 272,62~m}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{d_{max}}~\pink{=}~\blue{ 272,62~[m]}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Veja outra questão envolvendo decomposição de velocidade:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38285307

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$