Question

Como resolver a equação no intervalo de 0 a 2pi:
tg (x) = - 1

Answer 1

Temos que $tg \frac{ \pi }{4} = 1$ .
Como $\frac{ \pi }{4}$ ou 45° é um ângulo do 1° quadrante, sua tangente tem valor positivo ($tg\ \textgreater \ 0$) .
Assim, é necessário verificar em quais quadrantes temos tangentes negativas ($tg\ \textless \ 0$).
No 2° e 4° quadrante o valor da tangente é negativo. Assim, basta que encontremos os correspondentes de $\frac{ \pi }{4}$ (45°) no 2° e 4° quadrante.
Para achar os correspondente no 2° quadrante, basta somar ao ângulo original $\frac{ \pi }{2}$ . $\alpha _{1quad} + \frac{ \pi }{2} = \alpha_{2quad}$ . Substituindo os valores: 
$\frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{2} = \frac{ \pi +2 \pi }{4} = \frac{3 \pi }{4}$ . Portanto, o primeiro valor de x é $\frac{3 \pi }{4}$ (135°).
Mas ainda existe outro valor de x, o correspondente de $\frac{ \pi }{4}$ no 4° quadrante.
Estabelecendo a relação entre o 1° e o 4° quadrante tem se: $\alpha _{1quadrante} + 3 \frac{ \pi }{2} = \alpha_{4quadrante}$ .
Fazendo a substituição:
$\frac{ \pi }{4} + \frac{3 \pi }{2} = \frac{ \pi + 6\pi }{4} = \frac{7 \pi }{4}$ . Assim, temos que o segundo valor de x é $\frac{7 \pi }{4}$ (315°).
Resposta: Os valores de x são $x_{1} = \frac{3 \pi }{4}$ e $x_{2} = \frac{7 \pi }{4}$