Question

Verifique se os pontos A, B e C são colineares nos casos a seguir.​

Answer 1

Resposta:

a) A ; B e C não são colineares

b) A ; B e C são colineares

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Verifique se os pontos A, B e C são colineares nos casos a seguir.

a) A ( - 1 ; 2 )       B ( 2 ; 1/2 )        C ( 3 ; - 3 )

b) A ( 2 ; 1 )          B ( 3 ; 2 )           C ( 0; - 1 )

Resolução :

Nota prévia 1 →  pontos colineares ( "estão na mesma linha = reta), pertencem a uma mesma reta

Nota prévia 2 → As retas , aqui estudadas, têm equação de funções do tipo:

y = ax + b   com " a " e " b " ∈ R  e a ≠ 0

a) A ( - 1 ; 2 )       B ( 2 ; 1/2 )        C ( 3 ; - 3 )

I ) Método do uso da equação reduzida de uma função afim

1º Encontrar a  equação da reta que passa por A e B

y = ax + b

onde

" a " é o coeficiente angular

" b " é o coeficiente linear

Conhecidos as coordenadas de dois pontos, A e B   pode-se calcular

a = ( yB - yA ) / ( xB - xA)    

a = (1/2 - 2 ) / ( 2 - ( - 1 ))    

a = (1/2 - 4/2) / ( 2 + 1 )

a = ( - 3/2 ) / 3  

Nota dividir uma fração por 3 é o mesmo que multiplicar o denominador por 3

a = - 3/6

a = - 1/2

A equação já está feita em parte

$y= - \frac{1}{2} *x + b$

Usando as coordenadas do ponto A [ podia ter sido do ponto B pois ambos pertencem a esta reta ] vamos encontrar " b "

$2=- \frac{1}{2} * ( - 1 ) + b$

$2 = \frac{1}{2} +b$

$2 - \frac{1}{2} = b$

$\frac{4}{2} -\frac{1}{2} = b$

$b = \frac{3}{2}$

Já podemos escrever a equação completa

$y= - \frac{1}{2} *x + \frac{3}{2}$

2 º - Verificar se C  pertence à reta que passa por A e B

Agora pegamos nas coordenadas do ponto C, colocando-as na equação ficamos com:

$- 3 = - \frac{1}{2} * 3 +\frac{3}{2}$

$- 3 = 0$  o que é falso,

logo o ponto C não pertence à reta que passa por A e B.

A ; B e C não são colineares

I ) Método do uso do valor do determinante de matriz construída à custa das coordenadas dos 3 pontos do enunciado

Construir a matriz

|  -1     2     1  |

|   2   1/2    1  |

|   3   - 3     1  |

Copiar as duas primeiras colunas para lado direito da matriz

|  -1     2     1  |   - 1     2

|   2   1/2    1  |    2    1/2

|   3   - 3     1  |   3    - 3

Cálculo do determinante

| -1     2     1  |   - 1     2

|   2   1/2    1  |    2    1/2

|   3   - 3     1 |   3    - 3

D = + ( - 1 * 1/2 * 1 ) +

| -1   2    1  |   - 1     2

|   2   1/2    1  |    2    1/2

|   3   - 3     1 |   3   - 3

D = + ( - 1 * 1/2 * 1 ) + ( 2 * 1 * 3 ) +

|  -1     2     1  |   - 1     2

|   2   1/2    1  |   2   1/2

|   3   - 3     1  |   3   - 3

D = + ( - 1 * 1/2 * 1 ) + ( 2 * 1 * 3 ) + ( 1 * 2 * ( - 3 )) -

|  -1     2     1  |   - 1     2

|   2   1/2   1  |    2   1/2

|   3   - 3     1  |   3    - 3

D = + ( - 1 * 1/2 * 1 ) + ( 2 * 1 * 3 ) + ( 1 * 2 * ( - 3  )) - ( 1 * 1/2 * 3 ) -

|  -1     2     1  |   - 1     2

|   2   1/2   1 |    2   1/2

|   3   - 3    1  |   3    - 3

D = + ( - 1 * 1/2 * 1 ) + ( 2 * 1 * 3 ) + ( 1 * 2 * ( - 3 ) ) - ( 1 * 1/2 * 3 ) - ( - 1 * 1 * ( - 3 )) -

|  -1     2     1  |   - 1     2

|   2   1/2   1  |    2   1/2

|   3   - 3    1 |   3    - 3

D = + ( - 1 * 1/2 * 1 ) + ( 2 * 1 * 3 ) + ( 1 * 2 * (- 3 )) - ( 1 * 1/2 * 3 ) - ( - 1 * 1 * ( - 3 )) -

- ( 2 * 2 * 1 )

D = - 1/2 + 6 - 6 -3/2 - 3 - 4

D = - 1/2  -3/2 - 3 - 4

D = - 4/2 - 7

D = - 2 - 7

D = - 9     logo diferente de zero  .

Como Det. não é igual a zero, os três pontos não são colineares

b) A ( 2 ; 1 )          B ( 3 ; 2 )           C ( 0; - 1 )

|   2      1     1  |   2    1

|   3     2     1  |   3    2

|   0    - 1     1  |   0  - 1  

Calcular o determinante da matriz

|  2      1     1  |   2    1

|   3     2     1  |   3    2

|   0    - 1     1  |   0  - 1  

Det = + ( 2 * 2 * 1 ) +

|   2      1    1  |   2    1

|   3     2     1  |   3    2

|   0    - 1     1  |   0 - 1  

Det = + ( 2 * 2 * 1 ) + ( 1 *1 * 0 ) +

|   2      1     1  |   2    1

|   3     2     1  |   3    2

|   0    - 1     1  |   0 - 1  

Det = + ( 2 * 2 * 1 ) + ( 1 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 1 )) -

|   2      1     1  |   2    1

|   3     2     1  |   3    2

|   0   - 1     1  |   0  - 1  

Det = + ( 2 * 2 * 1 ) + ( 1 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 1 )) - ( 1 * 2 * 0 ) -

|   2      1     1  |   2    1

|   3     2     1 |   3    2

|   0    - 1    1  |   0  - 1  

Det = + ( 2 * 2 * 1 ) + ( 1 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 1 )) - ( 1 * 2 * 0 ) - ( 2 * 1 * ( - 1  )) -

|   2      1     1  |   2    1

|   3     2     1  |   3    2

|   0    - 1     1 |   0  - 1  

Det = + ( 2 * 2 * 1 ) + ( 1 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 1 )) - ( 1 * 2 * 0 ) - ( 2 * 1 * ( - 1  )) -

- ( 1 * 3 * 1 )

Det =  4 + 0 - 3 - 0 + 2 - 3

Det =  0

A ,  B  e  C    são colineares

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Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir

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Quaisquer dúvidas envie mensagem no comentário desta tarefa.

Ao responder às tarefas eu coloco os passos a dar, explicando como se faz.

Se quer só a sequência dos cálculos , ela aqui está.

Se quer perceber e aprender como se faz, tem aqui a maneira de o fazer.