(UNESP 2003) Suponha que um projétit de ataque partiu da origem do sistema de
coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura
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Alvo
Sabendo-se que o vértice da parábola do projetil de ataque é dado pelas coor-
denadas (15, 45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do
projétil de ataque.
b) Um projétil de defesa é lançado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetória
também descreve uma parábola segundo a equação y = - 0,25x? + 9x - 45. Conside-
rando-se que o projetil de defesa atingirá o projétil de ataque, calcule as coordenadas
onde isto ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do ataque.
Respostas
Explicação passo-a-passo:
f(x) = ax² + bx + c
yv = -Δ/4a
45 = -(b² - 4*a*c)/4a
c = 0, pois intercepta o eixo y no ponto 0.
45 = -b²/4a
180a = -b²
xv = -b/2a
15 = -b/2a
30a = -b
(30a)² = (-b)²
900a² = b²
b² = 900a²
-b²= 180a
900a² + 180a = 0
a(900a + 180) = 0
a = 0 (não convém)
ou
900a + 180 = 0
a = -180/900
a = -1/5
-b²= 180a
b² = -180a
b² = -180*(-1/5)
b² = 180/5
b² = 36
b = 6
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = -x²/5 + 6x + 0
f(x) = -x²/5 + 6x
y' = -x²/5 + 6x
b)
Como eles se encontrarão:
y' = y
Igualando-se as duas equações:
-x²/5 + 6x = -0,25x^2 + 9x - 45
-0,2x² + 6x = -0,25x^2 + 9x - 45
0,05x² - 3x + 45 = 0
0,05 = 5*10^(-2) -> para facilitar os cálculos.
Δ = (-3)² - 4*5*10^(-2)*45
Δ = 9 - 9
Δ = 0
x = (3 +/- 0)/2*5*10^(-2)
x = 3/10*10^(-2)
x = 3/10^(-1)
x = 30
Substituindo em y ou em y', temos:
y' = -x²/5 + 6x
y' = -(30)²/5 + 6*30
y' = -900/5 + 180
y' = -180 + 180
y' = 0
As coordenadas em que os projéteis se encontram é o ponto (30, 0)
espero ter ajudado!