Question

Seja T:R3R2 uma transformação linear definida por T(1,1,1) = (1,2); T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0) = (3,4). Determine a lei de T.

Answer 1

A transformação linear tem como lei

$T(x,\, y,\, z) = (3x-y-z,\, 4x-y-z)$

O exercício trata de transformações lineares, tipo de aplicações entre espaços vetoriais que apresentam linearidade, ou seja, dados v e w no espaço e λ no corpo,

$\lambda\cdot T(v)+T(w) = T(\lambda v+w)$

Seja T uma transformação $T\, :\, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, conhecida em

$T(1,\,1,\,1) = (1,\,2)\\T(1,\,1,\,0) = (2,\,3)\\T(1,\,0,\,0) = (3,\,4)$

Se T é linear, então para quaisquer λ₁, λ₂, λ₃,

$\lambda_1 \cdot T(1,\,1,\,1) + \lambda_2\cdot T(1,\,1,\,0) + \lambda_3 \cdot T(1,\,0,\,0) = \lambda_1\cdot (1,\, 2)+\lambda_2\cdot (2,\,3)+\lambda_3\cdot (3,\,4)$

Deste modo, conhecemos o valor para

$T(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\, \lambda_1+\lambda_2,\, \lambda_1) = ( \lambda_1 + 2\lambda_2+3\lambda_3 ,\, 2 \lambda_1+3\lambda_2+4\lambda_3)$

Chamando cada entrada de x, y e z obteremos que

$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = x\\ \lambda_1+\lambda_2=y \\ \lambda_1 = z$

Portanto,

$\lambda_1 = z\\ \lambda_2 = y-z \\ \lambda_3 = x-y$

Substituindo os valores obtemos

$T(x,\, y,\, z) = ( z+2(y-z)+3(x-y) ,\, 2z+3(y-z)+4(x-y)) = (3x-y-z,\, 4x-y-z)$