Question

Resolvendo a equação logaritmica,
log2(x-2)+2×log4 x=3×log8 2x
encontramos como solução no conjunto dos números reais o seguinte valor de X:

A)3
B)2
C)4
D)-4
E)-3
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Answer 1

Olá,

$log_{2}(x - 2) + 2 log_{4}(x) = 3 log_{8}(2x)$

Vamos transformar as bases dos logaritmos para base 2:

$log_{2}(x - 2) + 2 \frac{ log_{2}(x) }{ log_{2}(4) } = 3 \frac{ log_{2}(2x) }{ log_{2}(8) }$

Aqui vamos considerar os resultados:

$log_{2}(4) = log_{2}( {2}^{2} ) = 2 log_{2}(2) = 2(1) = 2$

$log_{2}(8) = log_{2}( {2}^{3} ) = 3 log_{2}(2) = 3(1) = 3$

Voltando a equação:

$log_{2}(x - 2) + 2 \frac{ log_{2}(x) }{2} = 3 \frac{ log_{2}(2x) }{3}$

$log_{2}(x - 2) + log_{2}(x) = log_{2}(2x)$

Da propriedade:

$log_{a}(b) + log_{a}(c) = log_{a}(bc)$

Assim:

$log_{2}((x - 2)(x)) = log_{2}(2x)$

$log_{ 2 }( {x}^{2} - 2x ) = log_{2}(2x)$

Da propriedade:

${a}^{ log_{a}(x) } = x$

Temos que:

${2}^{ log_{2}( {x}^{2} - 2x) } = {2}^{ log_{2}(2x) }$

${x}^{2} - 2x = 2x$

${x}^{2} - 2x - 2x = 0$

${x}^{2} - 4x = 0$

$x(x - 4 ) = 0$

Em consonância com a definição de logaritmos, vamos considerar o x diferente de zero.

Assim:

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Resposta: 4

Letra C)