Question

Na figura seguinte, o ponto P tem coordenadas (1, 1) e ambos os segmentos OB e OD tem comprimentos iguais a 3 metros. Pode-se concluir que o perimetro do quadrilatero OBPD e, em metros, e igual a

A) 6.

B) 6 + 3.

C) 6 + 3√2.

D) 6 + 2√5.

E) 6 + 4.​

Answer 1

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⠀⠀☞ O perímetro do quadrilátero OBPD é de 6 + 2√5, o que nos leva à opção D). ✅

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⠀⠀Podemos inicialmente separar este quadrilátero em três figuras:

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⠀⠀⇒ 1 quadrado de dimensões 1x1 (com um dos vértices na origem);

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⠀⠀⇒ 1 triângulo de base 1 e altura 2, com os vértices da base em (0, 1) e (1,1);

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⠀⠀⇒ 1 triângulo de base 2 e altura 1, com os vértices da base em (1, 0) e (3,0);

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⠀⠀Para encontrarmos os comprimentos DP e BP basta encontrarmos a hipotenusa dos dois triângulos que acabamos de montar acima. Do primeiro triângulo temos, pela lei de Pitágoras, que:

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$\LARGE\blue{\sf DP^2 = 2^2 + 1^2}$

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$\LARGE\blue{\sf DP^2 = 4 + 1}$

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$\LARGE\blue{\sf DP^2 = 5}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{DP^2} = \pm \sqrt{5}}$

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⠀⠀Como estamos procurando uma distância então assumiremos somente a solução positiva desta raiz:

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$\LARGE\blue{\sf DP = \sqrt{5}}$

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⠀⠀Para o segundo triângulo temos:

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$\LARGE\blue{\sf BP^2 = 2^2 + 1^2}$

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$\LARGE\blue{\sf BP = \sqrt{5}}$

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⠀⠀Portanto temos que o perímetro (x) deste quadrilátero será:

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$\LARGE\blue{\sf x = \overline{OD} + \overline{DP} + \overline{PB} + \overline{BO}}$

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$\LARGE\blue{\sf x = 3 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 3}$

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$\LARGE\blue{\sf x = 6 + 2\sqrt{5}}$

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⠀⠀O que nos leva À opção D). ✌

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{D)}~\blue{ 6 + 2\sqrt{5} }~~~}}$ ✅

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⠀⠀Mas se nosas figura não pudesse ser tão facilmente decomposta em outras? Neste caso usaríamos a equação para a distância entre dois pontos A e B para calcular cada segmento do perímetro:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm d_{a, b} = \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre distância entre dois pontos:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38357197

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

Resposta:

letra d) 6 + 2√5

espero ter ajudado