Question

O vetor gradiente da função F (x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 4z^4, no ponto (1,2,-2) é: (imagem)

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de gradientes.

Dada uma função diferenciável $f(x,~y,~z)$, o vetor gradiente da função é calculado como as derivadas parciais da função: $\overrightarrow{\nabla}f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y},~\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$.

Assim, seja a função $f(x,~y,~z)=x^2+2y^2+4z^2$. Devemos calcular o vetor gradiente da função no ponto $(1,~2,\,-2)$.

Calculando as derivadas parciais da função, lembrando que neste caso, as outras variáveis que não aquela que estamos derivando a respeito são consideradas como constantes. Assim, teremos:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=(x^2)'+0+0=2x\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=0+(2y^2)'+0=4y\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=0+0+(4z^2)'=8z$

O vetor gradiente desta função é:

$\overrightarrow{\nabla}f=(2x,~4y,~8y)$

Calculando o vetor gradiente no ponto $(1,~2,\,-2)$, temos:

$\overrightarrow{\nabla}f(1,~2,\,-2)=(2\cdot1,~4\cdot2,~8\cdot(-2))\\\\\\ \overrightarrow{\nabla}f(1,~2,\,-2)=(2,~8,\,-16)$

Reescrevendo a notação vetorial, temos:

$\overrightarrow{\nabla}f(1,~2,\,-2)=2\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}-16\overrightarrow{k}$

Este é o vetor gradiente desta função calculado no ponto desejado e é a resposta contida na letra d).