Question

4- Observe o triângulo a seguir.
O valor de tgß é igual a
(A)1
(B)4/3
(C) 0,8
(D)3/4
(E) 0,6

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre trigonometria.

Devemos determinar o valor de $\tan(\beta)$ no triângulo da figura, cuja medida do cateto adjacente ao ângulo é igual a $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ e a hipotenusa do triângulo mede $2\sqrt{5}$.

Lembre-se que a tangente de um ângulo é igual a razão entre os catetos oposto e adjacente a este ângulo.

Para calculamos a medida do cateto oposto ao ângulo, que chamaremos de $b$, utilizamos o Teorema de Pitágoras: seja um triângulo retângulo cujas medidas dos seus catetos são $a$ e $b$ e sua hipotenusa mede $c$. O teorema nos diz que $a^2+b^2=c^2$.

Então, fazemos:

$\left(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\right)^2+b^2=(2\sqrt{5})^2$

Calcule as potências e simplifique as frações

$\dfrac{180}{25}+b^2=20\\\\\\ \dfrac{36}{5}+b^2=20$

Subtraia $\dfrac{36}{5}$ em ambos os lados da equação e some os valores

$\dfrac{36}{5}+b^2-\dfrac{36}{5}=20-\dfrac{36}{5}\\\\\\ b^2=\dfrac{20\cdot5-36}{5}\\\\\\ b^2=\dfrac{100-36}{5}\\\\\\ b^2=\dfrac{64}{5}$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da equação, assumindo a solução positiva

$\sqrt{b^2}=\sqrt{\dfrac{64}{5}}$

Calcule os radicais, sabendo que $\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$ e $64=8^2$

$b=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{5}}\\\\\\ b=\dfrac{8}{\sqrt{5}}$

Racionalize o denominador da fração, multiplicando-a por um fator $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$b=\dfrac{8}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\ b=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$

Por fim, utilizando a propriedade descrita ao início, calculamos o valor de $\tan(\beta)$:

$\tan(\beta)=\dfrac{\dfrac{8\sqrt{5}}{5}}{\dfrac{6\sqrt{5}}{5}}$

Simplifique a fração por um fator $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan(\beta)=\dfrac{4}{3}$

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra b).