Respostas
Para resolver a integral que o exercício propõe usaremos uma técnica de integração chamada integração por partes, cuja definição é
Onde u, v são funções diferenciáveis quaisquer. Nosso trabalho é decidir qual a atribuição que faremos à u e v a tornar nosso problema o mais fácil possível. Para calcularmos a integral a seguir
Vamos utilizar a atribuição a seguir
Deste modo, escrevemos
Assim, obtendo v e u', podemos aplicar a integração por partes
Aparentemente nos encontramos em outro problema, que é avaliar a integral
Mas como anteriormente, podemos também utilizar partes para obter
Pode parecer que caímos em outra integral, no entanto trata-se apenas da integral que procuramos, mas, devido à linearidade da integral, está multiplicada por 4, assim podemos apenas substituir esta integral em nosso primeiro resultado obtemos
Este próximo passo é opcional, mas podemos substituir o termo da integral que queremos por a fim de manipularmos algebricamente a equação de forma mais 'fácil',
Finalizando o cálculo da integral definida.
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Aplicações de integral por partes
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⠀⠀☞ Integrando por partes esta integral cíclica temos que o resultado é ( e²ˣ / 5 ) × (2sen(x) - cos(x)) + C. ✅
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⠀⠀ Vamos inicialmente lembrar da regra de integral por partes:
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⠀⠀Seja portanto:
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⠀ ⠀A integral de e²ˣ é o próprio e²ˣ dividido pela derivada da potência:
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⠀⠀Então temos:
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⠀⠀Vamos analisar nossa integral do lado direito também através da regra da integral por partes:
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⠀⠀Então temos:
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⠀ ⠀Retornando ela para nossa integral anterior temos:
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⠀ ⠀ Ora, ora, ora, mas o que temos aqui? Nossa integral da direita, como sabemos, é nossa integral inicial, ou seja, esta é uma integral cíclica. podemos por uma manipulação algébrica somá-la em ambos os lados da igualdade:
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⠀ Rearranjando nossa equação e colocando alguns termos em evidência temos:
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⠀⠀☀️ Outro exercício de Integral:
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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38202708
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