Question

Calcule m para que se tenha simultaneamente cotg a = m e cossec a = 2m + 1.

Answer 1

Olá,

Inicialmente, vamos relembrar que:

$cotg \: a = \frac{cos \: a}{sen \: a} \\ cossec \: a = \frac{1}{sen \: a}$

Além disso, pode-se demonstrar que:

${sen}^{2} \: a + {cos}^{2} \: a = 1$

Vamos dividir a expressão acima por

${sen}^{2} \: a$

Logo:

$\frac{ {sen}^{2} \: a}{ {sen}^{2} \: a} + \frac{ {cos}^{2} \: a }{ {sen}^{2} \: a} = \frac{1}{ {sen}^{2} \: a }$

Podemos simplificar:

$1 + ( \frac{cos \: a}{sen \: a} {)}^{2} = ( \frac{1}{sen \: a} {)}^{2}$

Substituindo as expressões iniciais:

$1 + (cotg \: a {)}^{2} = (cossec \: a {)}^{2}$

Assim:

$1 + (m {)}^{2} = (2m + 1 {)}^{2}$

$1 + {m}^{2} = 4 {m}^{2} + 4m + 1$

${m}^{2} - 4 {m}^{2} - 4m + 1 - 1 = 0$

$- 3 {m}^{2} - 4m = 0$

$- m(3m + 4) = 0$

Temos duas opções:

$- m = 0 = > m = 0$

.

$3m + 4 = 0$

$3m = - 4$

$m = - \frac{4}{3}$