!!!! Calcule a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede 4 cm e a aresta lateral mede 5 cm.
Respostas
Resposta:
A área total da pirâmide é igual a 94,88 cm²
Explicação passo-a-passo:
A área total (At) da pirâmide é igual à soma da área da base (Ab) com a área lateral (AL):
At = Ab + AL
Acompanhe na figura do anexo:
1. Como calcular a área da base (Ab), que é o quadrado BCDE:
- um dos lados do quadrado é BC
- BD é a diagonal do quadrado
- BO é a metade da diagonal BD
- BO é cateto do triângulo retângulo ABO, no qual:
- AB é a aresta lateral da pirâmide (5 cm) e é hipotenusa de ABO
- AO é altura da pirâmide (4 cm) e cateto do triângulo ABO
1.1 - Para calcular BO, aplique o Teorema de Pitágoras:
AB² = AO² + BO²
5² = 4² + BO²
BO² = 25 - 16
BO = √9
BO = 3 cm
Então, a diagonal BD mede:
BD = 2 × 3 cm
BD = 6 cm
Como você conhece a medida da diagonal do quadrado pode obter a medida do seu lado, pois a diagonal de um quadrado é igual a:
BD = BC × √2
BC = BD/√2
BC = 6 cm ÷ √2 (lado do quadrado da base)
Então, como a área de um quadrado é igual ao lado elevado ao quadrado, a área da base é igual a:
Ab = (6 cm ÷ √2)²
Ab = 36 cm² ÷ 2
Ab = 18 cm² (Área da base da pirâmide)
2. Como calcular a área lateral da pirâmide:
A área lateral (AL) da pirâmide é igual à soma das áreas dos 4 triângulos isósceles:
AL = ABC + ACD + ADE + ABE
Vamos calcular a área do triângulo ACD, que é igual à metade do produto da base (CD) pela altura (AM):
ACD = (CD × AM) ÷ 2
Conhecemos a medida de CD (lado do quadrado da base), mas precisamos obter a medida da altura (AM).
Note que AM é cateto do triângulo retângulo ACM, no qual:
- AC é hipotenusa do triângulo e aresta lateral da pirâmide (5 cm)
- CM é metade do lado da base (6 cm ÷ √2) e cateto do triângulo:
CM = CD/2
CM = 3 cm ÷ √2
- AM é a altura da face do triângulo lateral e outro cateto do triângulo ACM
Aplique o Teorema de Pitágoras:
AC² = AM² + CM²
AM² = AC² - CM²
AM² = 5² - (3/√2)²
AM² = 25 - 4,5
AM = √20,5
AM = 4,53 cm
A área de cada um dos triângulos que formam as faces laterais da pirâmide, então, é igual a:
ACD = (6/√2) × 4,53
ACD = 19,22 cm²
Como são 4 os triângulos, a área lateral é igual a:
AL = 4 × 19,22 cm²
AL = 76,88 cm²
3. Cálculo da área total:
Como vimos lá no início, é igual à área da base, mais a área lateral:
At = Ab + AL
At = 18 cm² + 76,88 cm²
At = 94,88 cm²
Explicação passo-a-passo:
espero ter ajudado