Question

Calcule a derivada implícita de x² + y² = 100. Encontre a reta tangente que
passa no ponto (6,8)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações de retas tangentes e derivação.

Seja a curva $\mathcal{C}$ o gráfico da função $f(x)$. A equação da reta tangente à curva em um ponto $(x_0,~y_0)$, pertencente ao seu domínio, é calculada pela fórmula: $y=y_0+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$, em que $f'(x_0)$ é o coeficiente angular da reta e é a derivada da função calculada no ponto $x=x_0$.

Então, seja a curva $x^2+y^2=100$. Devemos calcular a equação da reta tangente à curva no ponto $(6,~8)$.

Primeiro, calculamos a derivada da função, em respeito à variável $x$:

$(x^2+y^2)'=(100)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é calculada pela regra da cadeia: $(y^n)'=n\cdot y^{n-1}\cdot y'$, em que $y'$ é a derivada implícita da função.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma e da constante

$(x^2)'+(y^2)'=0$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$2\cdot x^{2-1}+2\cdot y^{2-1}\cdot y'=0$

Some os valores no expoente e multiplique os termos

$2x+2y\cdot y'=0$

Subtraia $2x$ em ambos os lados da igualdade

$2y\cdot y'=-2x$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2y,~y\neq0$ e simplifique a fração

$y'=-\dfrac{x}{y}$

Esta é a derivada implícita da função.

Agora, calculamos o coeficiente angular da reta utilizando as coordenadas do ponto $(6,~8)$

$f'(6)=-\dfrac{6}{8}$

Simplifique a fração

$f'(6)=-\dfrac{3}{4}$

Substituindo estes dados na equação da reta tangente, finalmente teremos:

$y=8+\left(-\dfrac{3}{4}\right)\cdot(x-6)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos

$y=8-\dfrac{3x}{4}+\dfrac{9}{2}\\\\\\ y=-\dfrac{3x}{4}+\dfrac{25}{2}$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.