Respostas
Resposta:
x⁴ - 3x³ - x² + 3x = 0
Explicação passo-a-passo:
Dada uma equação algébrica de quarto grau, podemos rpresentá-la assim:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx = e
Como 0 (zero) é uma das raízes, podemos dizer então
a(0) + b(0) + c(0) + d(0) = e
Portanto e = 0
a equação fica assim:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx = 0
Ou, fatornado,
x(ax³ - bx² + cx - d) = 0
Com isso, ou x = 0 ou (ax³ - bx² + cx - d) = 0
Então basta achar as raízes dessa equação: (ax³ - bx² + cx - d = 0)
Considere que as raízes desse polinômio são dadas por r₁, r₂ e r₃.
b = r₁ + r₂ + r₃ (soma das raízes)
c = r₁.r₂ + r₁.r₃ + r₂.r₃ (soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas)
d = r₁.r₂.r₃ (produto das raízes).
De acordo com o que foi explicado acima, as raízes para essa "nova" equação de terceiro grau são r₁ = 3, r₂ = -1 e r₃ = 1.
b é igual a:
b = 3 - 1 + 1
b = 3
c é igual a:
c = 3.-1 + 3.1 + 1.-1
c = - 3 + 3 - 1
c = -1
d é igual a:
d = 3.-1.1
d = -3
A equção polinomial fica:
ax³ - 3x² - x + 3 = 0
Se dividirmos esse polinômio por uma das raízes e igualarmos o resto a 0 (já que é raiz), acharemos o valor de a; usando a raiz 3, por exemplo:
Por Ruffini
a -3 -1 3 | 3
a -3+3a -10+9a -27+27a
portanto
-27 + 27a = 0
a = 1
A equação total fica:
x(x³ - 3x² - x + 3) = 0
x⁴ - 3x³ - x² + 3x = 0